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1、韦达定理介绍英文名称：Viete theorem 韦达定理说明了一元n次方程中根和系数之间的关系。 这里主要讲一下一元二次方程两根之间的关系。 一元二次方程aX2+bX+c=0中,两根X1,X2有如下关系:x1+x2=-b/a; X1*X2=c/a.韦达定理(Vietas Theorem）的内容一元二次方程ax2+bx+c=0 (a0 且=b2-4ac0)中 设两个根为X1和X2 则X1+X2= -b/a X1*2=c/a 用韦达定理判断方程的根 若b²-4ac0 则方程有两个不相等的实数根 若b²-4ac=0 则方程有两个相等的实数根 若b²-4ac0则方程有实
2、数根 若b²-4ac0 则方程没有实数解韦达定理的证明一元二次方程求根公式为： x=(-bb2-4ac)/2a 则x1=(-b+b2-4ac)/2a，x2=(-b-b2-4ac)/2a x1+x2=（-b+b2-4ac/2a）+（-b-b2-4ac/2a） x1+x2=-b/a x1*x2=（-b+b2-4ac/2a）*（-b-b2-4ac/2a） x1*x2=c/a韦达定理的推广韦达定理在更高次方程中也是可以使用的。一般的，对一个一元n次方程AiXi=0 它的根记作X1,X2,Xn 我们有 Xi=(-1)1*A(n-1)/A(n) XiXj=(-1)2*A(n-2)/A(n) Xi
3、=(-1)n*A(0)/A(n) 其中是求和，是求积。 如果一元二次方程 在复数集中的根是，那么 由代数基本定理可推得：任何一元 n 次方程 在复数集中必有根。因此，该方程的左端可以在复数范围内分解成一次因式的乘积： 其中是该方程的个根。两端比较系数即得韦达定理。 法国数学家韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理。历史是有趣的，韦达的16世纪就得出这个定理，证明这个定理要依靠代数基本定理，而代数基本定理却是在1799年才由高斯作出第一个实质性的论性。 韦达定理在方程论中有着广泛的应用。 (x1-x2)的绝对值为(根号下b2-4ac)/（a的绝对值）射影定
4、理射影定理直角三角形射影定理（又叫欧几里德(Euclid)定理）：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。 公式RtABC中,BAC=90,AD是斜边BC上的高,则有射影定理如下:(1)(AD)2;=BDDC, (2)(AB)2;=BDBC , (3)(AC)2;=CDBC 。 等积式 (4)ABXAC=BCXAD(可用面积来证明)射影 所谓射影，就是正投影。直角三角形射影定理（又叫欧几里德(Euclid)定理）：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例
5、中项。初中射影定理的内容: 射影定理的内容是在直角三角形中，每条直角边是这条直角边在斜边的射影和斜边的比例中项，斜边上的高线是两条直角边在斜边射影的比例中项 公式 如图，RtABC中，BAC=90，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：（1）（AD）²=BDDC， （2）（AB）²=BDBC ， （3）（AC）²=CDBC 。 等积式 （）ABXAC=BCXAD(可用“面积法”来证明）直角三角形射影定理的证明证明： 射影定理简图(几何画板)一、 在 BAD与BCD中，A+C=90，DBC+C=90，A=DBC， 又BDA=BDC=90， BADCBD， AD/B
6、DBD/CD，即BD2;=ADDC。其余类似可证。(也可以用勾股定理证明) 注：由上述射影定理还可以证明勾股定理。 有射影定理如下： AB2;=ADAC，BC2;=CDCA 。 两式相加得： AB2;+BC2;=ADAC+CDAC =（AD+CD)AC=AC2;, 即AB2;+BC2;=AC2;（勾股定理结论）。 二、 已知:三角形中角A=90度,AD是高. 用勾股证射影 :因为AD2=AB2-BD2=AC2-CD2, 所以2AD2=AB2+AC2-BD2-CD2=BC2-BD2-CD2=(BD+CD)2-(BD2+CD2)=2BD*CD. 故AD2=BD*CD. 运用此结论可得:AB2=BD
7、2+AD2=BD2+BD*CD=BD*(BD+CD)=BD*BC,AC2=CD2+AD2=CD2+BD*CD=CD(BD+CD)=CD*CB. 综上所述得到射影定理。同样也可以利用三角形面积知识进行证明。任意三角形射影定理任意三角形射影定理又称“第一余弦定理”： ABC的三边是a、b、c，它们所对的角分别是A、B、C，则有 abcosCccosB， bccosAacosC， cacosBbcosA。 注：以“abcosCccosB”为例，b、c在a上的射影分别为bcosC、ccosB，故名射影定理。 证明1：设点A在直线BC上的射影为点D，则AB、AC在直线BC上的射影分别为BD、CD，且 B
8、D=ccosB，CD=bcosC，a=BD+CD=bcosCccosB. 同理可证其余。 证明2：由正弦定理，可得：b=asinB/sinA，c=asinC/sinA=asin(A+B)/sinA=a(sinAcosB+cosAsinB)/sinA =acosB+(asinB/sinA)cosA=acosBbcosA. 同理可证其它的。使动用法文言文中使动用法比较多，了解掌握这方面的知识，有助于文言文的学习。学习使动用法需注意以下三点：一、三种情形。文言使动用法主要有动词、形容词、名词的使动用法三种：1动词使动用法。指主语所代表的人或物不施行谓语动词所表示的行为动作，而是主语使宾语所代表的人或
9、物发出这个动作，表示主语使宾语“怎么样”的一种用法。例如：项伯杀人，臣活之。（鸿门宴）“活”这个行为不是主语“臣”发出，而是主语“臣”使宾语“之（项伯）”发出，是“使活”意思，全句译为“项伯杀人，臣救活过他”。广故数言欲亡，忿恚尉。（陈涉世家）“忿恚”是主语 “（吴）广”使宾语“尉”“忿恚”，全句译为“吴广故意多次说要逃跑，以此使校尉恼怒。”叫声屈动地惊天。（窦娥冤）“动、惊”分别是主语“屈”使宾语“地”“天”发出，分别是“使震动、使震惊”意思。 2形容词使动用法。就是当形容词活用为动词后，主语使宾语所代表的人或物具有这个形容词所表示的性质或状态。例如： 今媪尊长安君之位。（触龙说赵太后）“尊
10、”是形容词，作使动，“使尊贵”，“尊长安君之位”即主语“媪”使宾语“长安君之位”“尊贵”。 求木之长者，必固其根本。（谏太宗十思疏）“固”是形容词，作使动，“使稳固”，“固其根本”即“使其根本稳固”。 3名词使动用法。就是当名词活用为动词后，主语使宾语所代表的人或物成为这个名词所代表的人或物。例如： 先破秦入咸阳者王之。（鸿门宴）“王”名词，作使动，“使为王”，“王之”即“使他（先破秦入咸阳者）成为王”。二、判断方法。判断一个词是不是使动用法，方法有两种：1看能否在这个词里加进一个“使”字，加得进“使”就是使动，否则就不是。例如： “曹军方连船舰，首尾相接，可烧而走也。”（赤壁之战）烧（之），
11、加不进“使”字，“烧”是一般动词；走（之），使（之）逃跑，加得进，“走”就是使动用法。2根据句义判断。例如：士卒亦乐从李广而苦程不识。（李将军列传）沛公旦日从百余骑来见项王。（鸿门宴）判断两句中“从”字是不是使动，就要看句子的意义。句中士卒比李广地位低，“从”当然是一般动词；句中沛公地位比百余骑高，“从”便是使动，如果说是沛公“跟随着”百余骑，那就不合情理了。三、翻译方法。使动用法的翻译要注意避免两种错误：1意译混淆直译。如：例可以意译为“项伯杀人，我救活了他”，但不能因“活”可以意译为“救活”而认为不是使动用法，如果单独解释“活”，那就一定要直译为“使活”，不能意译混淆了直译。2附加宾语。即
12、翻译时把宾语也一同带进去。如：有人将“大王必欲急臣”的“急”，翻译为“使臣着急”，“足以荣汝身”的“荣”翻译成“使你荣耀”，这都是错误的译法，正确的翻译应该是“使着急”，“使荣耀”。 一、动词使动用法动词和它的宾语不是一般的支配与被支配的关系，而是使宾语所代表的人或事产生这个动词所表示的动作行为。 一般说来，被活用为使动的动词，多数是不及物动词。不及物动词本来不带宾语，用于使动后，后面就带有宾语。翻译时要采用兼语式的形式。 例1：行仁义而怀西戎，遂王天下。（五蠹） 怀：使归顺。 例2：直可惊天地，泣鬼神。（黄花冈七十二烈士事略序 惊：使震惊。 泣：使悲泣。 例3：河曲智叟笑而止之曰。（愚公移山
13、） 止：使之止（使愚公止） 及物动词也有活用为使动的，但较少见。 例1：操军方连船舰，首尾相接，可烧而走也。（赤壁之战） 走：使操军逃跑 二、名词使动用法名词用作使动词，是指这个名词带了宾语，并且使宾语所代表的人或事物变成这个名词所代表的人或事物。翻译时要采用兼语式的形式。 例1：文王以百里之壤而臣诸侯。（毛遂自荐） 臣：使称臣。 例2：先破秦入咸阳者王之。（鸿门宴） 王：使为王。 在古代汉语里，名词用作使动词比较少见。（例2“王”为意动用法不是使动，译为，认为为王或把当王） 三、形容词使动用法形容词带上宾语以后，如果使得宾语具有这个形容词的性质和状态，那么这个形容词则活用为使动词。 例1：既
14、来之，则安之。（季氏将伐颛臾） 安：使安。 例2：大王必欲急臣，臣头今与璧俱碎于柱矣！（廉颇蔺相如列传） 急：使急。 例3：凄神寒骨，悄怆幽邃。（小石潭记） 凄、寒：使神骨凄寒。 四.使动用法和意动用法的区别【1.语义区别】 使动用法指动词谓语表示主语使宾语怎么样的用法。有些名词和形容词活用为使动词，表示使.的意思。有三种：1.动词的使动用法。如必先苦其心志，劳其筋骨中的劳，意思是使.劳累。 2.名词的使动用法。是使.成为.的意思。3.形容词的使动用法。特点是使宾语表示的人或物具有这个形容词所表示的性质或状态。 意动用法表示主语认为宾语怎么样，或主语把宾语当作什么。有两种：1.名词的意动用法。例如先破秦入咸阳者王之中的王，意思是以.为王
