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1、第二讲 函数概念与表示一【课标要求】1通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念；2在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数；3通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用；4通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；结合具体函数，了解奇偶性的含义；5学会运用函数图象理解和研究函数的性质二【命题走向】函数是整个高中数学的重点，其中函数思想是最重要的数
2、学思想方法，函数问题在历年的高考中都占据相当大的比例。从近几年来看，对本部分内容的考察形势稳中求变，向着更灵活的的方向发展，对于函数的概念及表示多以下面的形式出现：通过具体问题（几何问题、实际应用题）找出变量间的函数关系，再求出函数的定义域、值域，进而研究函数性质，寻求问题的结果。高考对函数概念与表示考察是以选择或填空为主，以解答题形式出现的可能性相对较小，本节知识作为工具和其他知识结合起来命题的可能性依然很大三【要点精讲】1函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：AB为从集合A到集合
3、B的一个函数。记作：y=f(x)，xA。其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合f(x)| xA 叫做函数的值域。注意：（1）“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；（2）函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x2构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域（1）解决一切函数问题必须认真确定该函数的定义域，函数的定义域包含三种形式：自然型：指函数的解析式有意义的自变量x的取值范围（如：分式函数的分母不为零，偶次根式函数的被开方数为非负数，对数函数的真数为正数，等等）；限制型：
4、指命题的条件或人为对自变量x的限制，这是函数学习中重点，往往也是难点，因为有时这种限制比较隐蔽，容易犯错误；实际型：解决函数的综合问题与应用问题时，应认真考察自变量x的实际意义。（2）求函数的值域是比较困难的数学问题，中学数学要求能用初等方法求一些简单函数的值域问题配方法（将函数转化为二次函数）；判别式法（将函数转化为二次方程）；不等式法（运用不等式的各种性质）；函数法（运用基本函数性质，或抓住函数的单调性、函数图象等）。3两个函数的相等：函数的定义含有三个要素，即定义域A、值域C和对应法则f。当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后，函数的值域也就随之确定。因此，定义域和对应法则为函
5、数的两个基本条件，当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数。4区间（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间；（3）区间的数轴表示5映射的概念一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：AB为从集合A到集合B的一个映射。记作“f：AB”。函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合”，按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系，这种的对应就叫映射。注意：（1）这两个集合有先后顺序，A到
6、B的射与B到A的映射是截然不同的其中f表示具体的对应法则，可以用汉字叙述。（2）“都有唯一”什么意思？包含两层意思：一是必有一个；二是只有一个，也就是说有且只有一个的意思6常用的函数表示法（1）解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式；（2）列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系；（3）图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系7分段函数若一个函数的定义域分成了若干个子区间，而每个子区间的解析式不同，这种函数又称分段函数；8复合函数若y=f(u)，u=g(x),x(a，b)，u(m,n)，那么y=fg(x)称为复合函数，u称为中间变量
7、，它的取值范围是g(x)的值域四【典例解析】题型1：函数概念例1设函数则不等式的解集是（ ）A. B. C. D.变式题：已知函数若，则 . 例2（1）函数对于任意实数满足条件，若则_ _；（2）函数对于任意实数满足条件，若则_。题型二：判断两个函数是否相同例3试判断以下各组函数是否表示同一函数？（1）f（x）=，g（x）=；（2）f（x）=，g（x）=（3）f（x）=，g（x）=（）2n1（nN*）；（4）f（x）=，g（x）=；（5）f（x）=x22x1，g（t）=t22t1。点评：对于两个函数y=f（x）和y=g（x），当且仅当它们的定义域、值域、对应法则都相同时，y=f（x）和y=g（
8、x）才表示同一函数若两个函数表示同一函数，则它们的图象完全相同，反之亦然。题型三：函数定义域问题例4求函数的定义域：；例5已知函数定义域为(0，2)，求下列函数的定义域：(1) ；(2)。变式题：已知函数f（x）=的定义域是R，则实数a的取值范围是（ ）AaB12a0C12a0Da题型四：函数值域问题例5求下列函数的值域：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）。题型五：函数解析式例6（1）已知，求；（2）已知，求；（3）已知是一次函数，且满足，求；（4）已知满足，求。点评：第（1）题用配凑法；第（2）题用换元法；第（3）题已知一次函数，可用待定系数法；第（4）题
9、用方程组法。例7已知向量 （1）当时， 求的值（2）求， 在上的最大值与最小值例9北京奥运会纪念章某特许专营店销售纪念章，每枚进价为5元，同时每销售一枚这种纪念章还需向北京奥组委交特许经营管理费2元，预计这种纪念章以每枚20元的价格销售时该店一年可销售2000枚，经过市场调研发现每枚纪念章的销售价格在每枚20元的基础上每减少一元则增加销售400枚，而每增加一元则减少销售100枚，现设每枚纪念章的销售价格为x元（xN*）（）写出该特许专营店一年内销售这种纪念章所获得的利润y（元）与每枚纪念章的销售价格x的函数关系式（并写出这个函数的定义域）；（）当每枚纪念销售价格x为多少元时，该特许专营店一年内
10、利润y（元）最大，并求出这个最大值（）依题意此函数的定义域为 （） 当，则当时，（元）；当，因为xN*，所以当x23或24时，（元）； 综合上可得当时，该特许专营店获得的利润最大为32400元 题型7：课标创新题例10（1）设，其中a、b、c、d是常数。如果求；（2）若不等式对满足的所有m都成立，求x的取值范围。解：（1）构造函数则故：（2）原不等式可化为构造函数，其图象是一条线段。根据题意，只须： 即解得。五【思维总结】“函数”是数学中最重要的概念之一，学习函数的概念首先要掌握函数三要素的基本内容与方法。由给定函数解析式求其定义域这类问题的代表，实际上是求使给定式有意义的x的取值范围它依赖于
11、对各种式的认识与解不等式技能的熟练。1求函数解析式的题型有：（1）已知函数类型，求函数的解析式：待定系数法；（2）已知求或已知求：换元法、配凑法；（3）已知函数图像，求函数解析式；（4）满足某个等式，这个等式除外还有其他未知量，需构造另个等式：解方程组法；（5）应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等。2求函数定义域一般有三类问题：（1）给出函数解析式的：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合；（2）实际问题：函数的定义域的求解除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实际问题有意义；（3）已知的定义域求的定义域或已知的求的定义域：掌握基本初等函数（尤其是分式函数、无理函数、对数函数、三角函数
12、）的定义域；若已知的定义域，其复合函数的定义域应由解出。3求函数值域的各种方法函数的值域是由其对应法则和定义域共同决定的。其类型依解析式的特点分可分三类：(1)求常见函数值域；(2)求由常见函数复合而成的函数的值域；(3)求由常见函数作某些“运算”而得函数的值域。直接法：利用常见函数的值域来求一次函数y=ax+b(a0)的定义域为R，值域为R；反比例函数的定义域为x|x0，值域为y|y0；二次函数的定义域为R，当a0时，值域为；当a0时，值域为。配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；常转化为型如：的形式；分式转化法（或改为“分离常数法”）换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；基本不等式法：转化成型如：，利用平均值不等式公式来求值域；单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域。数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域
