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1、人教A版数学选修4-5第二讲 证明不等式的基本方法 放缩法 教学设计明光市第三中学 唐守俊一、 内容和内容解析1. 内容1、放缩法.2、用放缩法证明不等关系2. 内容解析在证明不等式的时候，在直接证明遇到困难的时候,可以利用不等式的传递性，把要证明的不等式加强为一个易证的不等式，即欲证AB，我们可以适当的找一个中间量C作为媒介，证明AC且CB,从而得到AB.我们把这种把B放大到C(或把A缩小到C)的方法称为放缩法.放缩是一种重要的变形手段,但是放缩的对象以及放缩的尺度不易掌握,技巧性较强,这关系到证明的成败,往往需要根据具体的题目经过多次的探索和试验才能成功,因此必须多练. 比较常用的方法是把
2、分母或分子适当放大或缩小（减去或加上一个正数）使不等式简化易证。基于以上分析，确定本节课的教学重点是：会利用放缩法证明不等式。二、 教学目标1、了解放缩法的概念.2、能使用放缩法证明简单的不等关系.3、经历知识的生成过程,初步掌握放缩的技巧.三、 目标解析教学问题诊断分析放缩法是不等式证明中最重要的变形方法之一,放缩必须有目标,而且要恰到好处,目标往往要从证明的结论考察.常用的放缩方法有增项,减项,利用分式的性质,利用不等式的性质,利用已知不等式,利用函数的性质进行放缩等.学生在高中阶段已经学习了基本不等式与绝对值不等式，会用裂项法对数列求和等，具备了一定的掌握放缩法的理论依据和技巧。因此，本
3、节课在教学过程中可能遇到的主要障碍，一是过度放缩，二是不能选择恰当的放缩方法。 这两点是本节的教学难点，课堂教学中要注重对学生的引导和强调。基于以上分析，本节课的教学难点是：运用放缩法证明不等关系四、 教学过程设计知识梳理 证明不等式时,通常把不等式中的某些部分的值放大或缩小,简化不等式,从而达到证明的目的.我们把这种方法称为放缩法.知识导学放缩法多借助于一个或多个中间量进行放大或缩小,如欲证AB,需通过BB1,B1B2BiA(或AA1,A1A2AiB)，再利用传递性，达到证明的目的。典题精讲 放缩法一般包括:用缩小分母,扩大分子,分式值增大；缩小分子,扩大分母,分式值缩小；全量不少于部分.每
4、一次缩小其和变小,但需大于所求;每一次扩大其和变大,但需小于所求.即不能放缩不够或放缩过头,同时要使放缩后便于求和.【例1】已知a, b, c, dR+，求证：思路分析：不等式的两端是两个整数，中间是四个分式的和，可以通过把分母或分子适当放大或缩小（减去或加上一个正数）使不等式简化，从而得出证明。证：记m = a, b, c, dR+ 来源:Z.xx 1 m 2 即原式成立【变式训练】 上面两式相加得所以原式成立【例2】若n是大于1的自然数，求证：思路分析：待证不等式的右边是整式，左边是n个式子的和，利用式子对每一个式子作适当的变形，最后各式相加，达到适当放大或缩小的目的，宜用放缩法. 证：思
5、考：若把不等式的右边改成或，你可以证明吗？【变式训练1】若n是大于1的自然数，思路分析：待证不等式的右边仍是整式，左边是n个式子的和，利用式子对每一个式子作适当的变形，最后各式相加，达到适当放大或缩小的目的，宜用放缩法.所以原式成立【变式训练2】若n是大于1的自然数，所以原式成立【例3】已知a,b是实数，求证：证：|a+b|a|+|b|a|+|b|-|a+b|0,思路整理：对含绝对值的不等式的证明，要辨别是否属绝对值不等式的放缩问题，如利用|a|-|b|ab|a|+|b|进行放缩，此问题我们可以算作放缩问题中的一类.方法二 思路整理：不等式证明与数学上所有其他证明一样，没有一种适用于所有问题的统一方法，应该对具体问题的特点作具体分析，选择合适的方法。课堂小结：1.由上面的例题可以看出，用放缩法证不等式AB,可以将A适度放大成C，即AC,然后容易证明CB.也可以将B适度缩小成C，即BC，然后容易证明AC2.由上面的例题还可以看出，用放缩法证明不等式很多情况是放缩后利用裂项求和，所以要熟悉裂项的模型。布置作业：【设计意图】通过本节课的学习，让学生掌握用放缩法证明不等式，而用放缩法证明不等式很多情况是放缩后利用裂项求和，所以通过作业1和作业2要学生熟悉裂项的模型。
