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1、 数 学 建 模期末作业姓名 解朝家学号 20121001516学院 机电学院 住房分配问题一 摘要该问题为研究多重影响因素下针对住房分配的合理方安。根据题目所给的条件，影响住房分配的有职称、工龄、教学情况、学历以及科研，一般会采用“分档次分配”的方式，如：“先按工龄分档次，处在同一档次的按职称先后排队分配住房，职称相同的再按其他因素排队”，但是这样的分配方法存在不合理性。如：若首先按照工龄排队，则任职晚的就会排在后面，而无论他的职称或是对公司做出的突出贡献，这样显然不能体现多劳多得，先劳先得的公平法则。但同时也考虑到各个影响因素确实也有主次大小之分，即不同因素对住房分配的影响程度是不同的，故
2、住房分配是一个多指标，多成员，多不定因数的决策问题，是多属性决策在现实中的具体应用。而解决多属性决策问题关键的环节就是确定各指标的相对权重。在确定权的方法上目前主要有层次分析法中的最大特征根法、近似计算方法中的幂法、方根法、求积法，加权平方和法以及来自信息论的熵技术等。一定的原则指导下，寻求一种较为合理、有效的方法对住房分配也就显得十分必要。层次分析法是解决多属性决策的一种行之有效的方法。本文通过分析住房分配要素的性质和成员在各指标下的数据，利用层次分析法，结合具体实例给出了分配方案需要的排序。并在文末，检验了方案的合理性，并对个例进行了推广，使这种方法更具有通用性。又按照层次分析法以及题意可
3、知：目标层为住房分配；准则层为五大因素，且按权重依次为职称、工龄、教学情况、学历及科研，再根据权重构造比较矩阵，对其进行一致性检验，可以接受，进一步求出最大特征值，然后在对矩阵进行归一化，得到相应的特征向量。方案层为50位老师，依据每位老师对5个因素的不同量化数据，构造出5个50阶一致性矩阵，其特征值为50，进一步对每个矩阵进行归一化，得到相应的特征向量，据此计算出方案层对目标层的组合权向量，并作组合一致性检验。通过检验，则按照组合权向量表示的结果进行决策。某中学现有30套福利房欲分配给该校老师，该校有50位教师。学校经过全体老师讨论决定，分房只考虑下列因素：职称，工龄，学历，教学情况。关键词
4、：层次分析法；主成分分析法；归一化；一致性检验二问题的重述 某中学现有30套福利房欲分配给该校老师，该校有50位教师。学校经过全体老师讨论决定，分房只考虑下列因素：职称，工龄，学历，教学情况。具体情况如下表1，请设计一个数学模型，合理分配这30套住房。现在要综合考虑各个方面因素，即职称，工龄，学历，教学情况。找到一种更合理、更人性化、更公平、公正的分配方法。表1三.问题的分析该问题按照层次分析法需要建立目标层、准则层、决策层：目标层为住房分配；准则层为五大因素，且按权重依次为：1职称:2工龄、3教学情况、4学历、5科研，再根据权重构造比较矩阵，对其进行一致性检验，可以接受，进一步求出最大特征值
5、，然后在对矩阵进行归一化，得到相应的特征向量，不能接受，则需要重新分配权重，进一步求出最大特征值，然后在对矩阵进行归一化，得到相应的特征向量。方案层为50位老师，依据每位老师对5个因素的不同量化数据，构造出5个50阶一致性矩阵，其特征值为50，进一步对每个矩阵进行归一化，得到相应的特征向量，据此计算出方案层对目标层的组合权向量，并作组合一致性检验。四.模型假设1、假设分配住房只考虑下列5个因素：职称、工龄、学历、教学、科研情况，而不考虑是否已有住房或住房的挑选等问题。2、假设该中学主要遵循“按劳分配，兼顾科研”的住房分配原则。3、假设每位教师至多分得1套住房。4、假设住房分配选择的指标、计算各
6、属性值时采取的量化方法及确定指标的相对重要程度都具有权威性，各成员对此没有异议。5、当总权重一样时，以工龄为优先权，接着以职称，教学，学历，科研五.模型设计 1、建立递阶层次结构模型据题意，住房分配问题的考虑因素有1职称:2工龄、3教学情况、4学历、5科研，本文以这五项为准则层，住房分配为目标层，50个老师为决策层，构造了如图1：目标层： 住房分配准则层： 职称 工龄 学历 教学 科研 方案层: p1 p2 p3 . P50 2、构造判断矩阵层次结构反映了因素之间的关系，但准则层中的各准则在目标衡量中所占的比重并不一定相同，在决策者的心目中，它们各占有一定的比例。Saaty等人建议可以采取对因
7、子进行两两比较建立成对比较矩阵的办法。即每次取两个因子xi和xj，以aij表示xi和xj对Z的影响大小之比，全部比较结果用矩阵A=(aij)nxn表示，称A为Z-X之间的成对比较判断矩阵（简称判断矩阵）。容易看出，若xi与xj对Z的影响之比为aij，则xj与xi对Z的影响之比应为aji=1/aij。aij值的确定，可用1-9数的倒数表示如下对准则层的尺度比较如下所示：则可以得到非一致性矩阵如下：C= 1 3 4 5 6 1/3 1 2 3 4 1/4 1/2 1 2 3 1/5 1/3 1/2 1 2 1/6 1/4 1/3 1/2 1职称 学历 工龄 科研 教学3、对准则层判断矩阵进行一致性
8、检验并求其权向量(1)计算一致性指标CI 公式：CI=(max-n)/(n-1) lmax为矩阵对应的最大特征根，n为矩阵维数 (2)查找相应的平均随机一致性指标RI。RI的值，如下所示：RI值是用随机方法构造500个样本矩阵，随机地从19及其倒数中抽取数字构造正互反矩阵，求得最大特征根的平均值max，并用如下定义得到的： RI=max-n/n-1(3) 计算一致性比例CR： CR=CI/RI计算CI应该先计算出max，即矩阵C的最大特征向量在matlab中输入：则max=5.0988，代入CI，可求出CI=(5.0988-5)/(5-1)=0.0247,当n=5时，RI=1.12,所以CR=
9、CI/RI=0.0221,小于0.1，满足一致性检验。计算准则层最大特征值对应的权向量 公式方法如下：用MATLAB计算结果输入程序a=ones(5)a(1,2)=3;a(1,3)=4;a(1,4)=5;a(1,5)=6;a(2,3)=2;a(2,4)=3;a(2,5)=4;a(3,4)=2;a(3,5)=3;a(4,5)=2;fori=1:5forj=1:5a(j,i)=1/a(i,j)endendv,d=eig(a)g=max(max(d)fori=1:5b(i)=0forj=1:5b(i)=a(i,j)+b(i)j+1endendm=0fork=1:5m=b(k)+mendm;fori=
10、1:5n(i)=b(i)/mendn结果如下权重 职称 学历 工龄 科研 教学4、量化所有教师在5项因素中的程度并求各项权向量，量化方案如下职称 高级8 中级5 初级3学历 博士8 硕士6 本科4 专科2工龄 实际工龄/5+1科研 好10 一般7 差4教学 好10 一般7 差4则各教师量化结果如下：教师编号 职称 学历 工龄 科研 教学 1 8 10 4 10 102 8 8 6 7 73 8 7 6 7 74 8 7 4 7 105 8 5 8 4 46 8 6 6 4 77 5 5 8 7 78 5 5 6 10 79 5 4 6 10 710 5 4 6 10 711 5 4 6 10 712 5 4 6 7 713 5 3 6 7 1014 5 3 6 10 415 5 4 6 4 716 5 4 6 4 717 5 4 6 4 718 5 3 6 7 719 5 4 4 10 420 5 4 4 4 1021 5 4 4 7 422 5 3 4 7 1023 5 3 4 7 1024 3 2 8 10 1025 3 2 8 10 726 5 3 4 4 727 5 3 4 4 428 3 2 8 4 1029 3 3 6 7 7 30 3 3 6 4 1031 3 2 6 10 432 3 2 6 7 10
