《等比数列前n项和1.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《等比数列前n项和1.doc（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 等比数列的前n项和 一 教材分析（一）：教材所处的地位和作用“等比数列前n项和”是人教社高中数学必修教材试验修订本第一册第三章第五节的内容，教学对象为高一学生。等比数列的前n项和有着广泛的实际应用，例如产品的规格设计、储蓄、分期付款的有关计算等等,所以它在新教材中保留了下来。本节课是本章的重点，从知识体系上看，数列有着承前启后的作用：数列是函数的延续，它实质上是一种特殊的函数；学习数列又为进一步学习数列的极限等内容打下基础。 从思想方法上看，它是培养提高学生思维能力的好题材。学习数列要经常观察、分析、猜想,要综合运用前面的知识解决数列中的一些问题，这些都有利于学生数学能力的提高。（二）：教学
2、内容 本节教材是根据等差数列的定义及通项推导等比数列的前n项和公式，同时让学生掌握公式的一些具体运用。（三）：教学目标 1知识目标：理解等比数列前n项和公式的推导方法，掌握等比数列前n项和公式及应用。 2能力目标：（1） 通过折纸实验，引导学生把实际问题转化为数学问题，培养学生数学建模的思想以及自觉运用数学知识的意识。（2） 通过对等比数列求和公式的猜想，培养学生观察、归纳能力。（3） 通过小组讨论推导公式，培养学生探索问题的方法，从而提高学生分析问题的能力以及综合运用知识解决问题的能力。（4） 通过类比等差数列性质，推导等比数列的性质，培养学生的知识迁移能力以及思维的发散能力。3情感目标（1
3、） 创设情境，激发学习数学的兴趣。（2） 通过小组讨论，培养学生的合作交流能力。（3） 学生自己推导公式，锻炼学生遇到困难不气馁的坚强意志和勇于创新的精神。（4） 介绍欧几里得在几何原本中的证明方法，向学生渗透数学史的教育。（四）：教材的重点、难点重点：等比数列前n项和公式及运用。突出重点的方法：（1）明确重点运用比较法来突出公式的内容：强调公式的应用范围：Sn=和Sn=(q1) ,中可知三求二。 （2）运用纠错法对公式中学生容易出错的地方，即公式的条件 ，以精练的语言给予强调，并指出q=1时， 。再有就是有些数列求和的项数易错，例如的项数是n+1而不是n。 （3）设置低、中、高三个层次的例题
4、，从公式的直接应用、公式的变形应用和实际应用来突出这一重点。 难点：等比数列前n项和公式的推导。突破难点的方法：（1） 首先，根据S1,S2,S3的和式特点，猜想出求和公式。（2） 从3个方面启发学生运用连比定理导出公式：(i)以Sn的结构启动思维：Sn=a1+a2+an(ii)等比数列的定义: (iii)由猜想的结果Sn=中涉及的几个量a1,q,an，可从中消去a2,a3, an-1，得到它们的一个关系式（把它看成关于Sn的一个简单的一元一次方程）。（3） 启发学生在证法1的基础上，能否运用其它方法构造Sn方程，得到证法2。(4):类比等差数列的求和公式推导方法（i）推导等差数列前n项和公式
5、是根据等差数列前后项之间的关系，采取倒项相加的方法导出公式。启发学生采用倒项相加的方法推导等比数列前项n和。(ii): 学生会采用这样的证法Sn=a1 + a1q + a1q2 + +a1qn-2+a1qn-1 Sn=a1qn-1+a1qn-2+ + a1q + a1 2Sn=a1(1+qn-1)+a1(q+qn-2)+ +a1(qn-2+q)+a1(qn-1+1)启发学生分析等比数列特点：数列每一项比前一项多一个q，若等比数列每一项乘以一个公比就得到它后面相邻的一项，因而Sn=a1+a1q+a1q2+a1qn-1 与qSn=a1q+a1q2+a1q3+a1qn 有n-2项相同，彼此相减可消去
6、这些相同的项。二：学生的现状分析（1） 知识结构 1：学生已掌握等比数列的定义和通项公式，以及等差数列的一些性质。 2：学生已有函数及方程的思想。（2） 年龄特点 1；好奇心强，喜欢动手操作，对亲身经历产生深刻的印象。 2：表现欲强，喜欢展示自己的成果。三：教学方法通过学生自己实验引出课题，引导学生猜想得到公式，采用启研的方法，让学生讨论得到证明，利用类比的思想延伸课题，同时充分利用现代教育手段，增大教学容量和直观性，提高教学效率。四：教学过程一：创设情境，布疑激趣把一张正方形的纸对折，再对折，然后在折叠的角上剪一刀，就在纸中间剪出一个洞，问如此重复折叠16次，若每折叠一次剪一刀，共可剪出多少
7、个洞？说明：（1） 让学生动手尝试，发现折叠到7次时，就比较困难了，以此激发学生的学习兴趣，同时培养数学建模的思想。（2） 既复习等比数列的定义，同时又引出本节课的重点。二：鼓励尝试，体验成功 猜想：类比等差数列求和公式，猜想等比数列的和会与那些量有关？q1, S1=a1= S2=a1+a1q=a1(1+q)= S3=a1+a1q+a1q2=a1(1+q+q2)=Sn=q=1 Sn=na1说明：（1） 学生通过猜想导出等比数列通项，故自然会提出能否猜想其求和公式。（2） 通过猜想可以看出Sn与a1,q,n,an之间的关系，为下面推导提供方便。（3） 通过猜想，培养学生观察、归纳能力。三：共同探
8、讨，推导公式1：学生分组讨论，然后交流结果，得到共有四种证法。法一：从等比数列的定义出发，运用连比定理导出公式 Sn=法二： 利用定义及通项Sn=a1+a1q+a1q2+a1qn-1=a1+(a1+a1q+a1qn-2)q=a1+qSn-1=a1+q(Sn-an)Sn=法三：类比等差数列求和公式推导（错位相减法）。 Sn=a1+a2+a3+an Sn=a1 + a1q +a1q2+ +a1qn-1 qSn= a1q+a1q2+a1q3+a1qn-1+a1qn (1-q)Sn=a1-a1qnSn=法四：由猜想反推公式Sn=a1+a1q+a1q2+a1qn-1=a1(1+q+q2+qn-1)=说明
9、：（1）：法一是欧几里得在几何原本中的证明方法，向学生渗透数学史的教育。（2）鼓励学生大胆证明，培养合作交流能力，同时对学生的错误给予纠正2：小结公式特点及证明方法(1) 猜想只能用于思考，不能用于证明。(2) 类比等差数列注意知识的迁移。(3) 法一、法二采用构造方程解题的思想(4) 分析Sn=和Sn=的结构特点，强调公式的应用范围， 中可知三求二。(5) 注意：q=1 Sn=na1说明：“由厚到薄”，使知识高度概括，促进知识的迁移。四：巩固练习加深理解1:在等比数列an中(1)已知a1=3,q=2,n=6，求Sn(2)已知a1=2.4,q=-1.5,n=5 求Sn(3) 已知a1=-2.7
10、,q=-,an=求Sn(4) 已知a1=2,S3=26 求q , a32：（1）计算游戏中的答案( 2 )折叠多少次可以得到1365个洞( 3 )再折叠6次会增加多少个洞？说明：第（2）反用求和公式，第（3）小题启发学生从两方面考虑，练习难度由浅入深，循序渐进。3：求数列a,2a2,3a3,a4,的前n项和(a1) 求数列an,an=2nan前n项和(a1)求数列an,an=(2n+1)an的前n项和(a1)归纳错位相减法适用的范围说明：由具体到抽象，培养学生归纳能力，同时巩固定理中的证明方法。五：课外作业，拓展延伸1：举例说明等比数列在生活中的运用。2:若an为等差数列，Sn是前n项和，则Sk,S2k-Sk,S3k-S2k成等差数列，若an为等比数列，Sn是前n项和，则Sk,S2k-Sk,S3k-S2k是否也成等比数列？ 3：等差数列还有那些性质可类似的推广到等比数列？
