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1、专题考案(1)函数板块 第4课 函数的最值(时间：90分钟 满分：100分)题型示例求函数f(x)=(4-3a)x2-2x+a在区间0,1上的最大值.解 先讨论二次项系数4-3a,分三种情况：(1)当4-3a=0即a=时，原函数为f(x)=-2x+是减函数，在0，1上的最大值为f(0)=a；(2)当4-3a0,即a0;当对称轴位于区间0,1的中点，即=,a=时，最大值为f(0)=f(1)=2-2a;当对称轴位于区间0,1中点的左侧，即0,a,a时，最大值为f(0)=a;(3)当4-3a时，抛物线开口向下，对称轴为x=时，最大值为a.点评 解决本题须根据需要逐层分类讨论，并将讨论的结果进行合并.
2、一、选择题(8432)1设实数x、y满足x+2y=1,x0，则x2+y2的最小值为 ( )A. B. C. D.2已知x0,y0，且2x+5y=20，则lgx+lgy的最大值是 ( )A.0 B.1 C.2 D.53设、是方程x2-2mx+3m-4=0的两实根，则(-1)2+(-1)2 ( )A.有最小值，无最大值 B.有最大值，无最小值C.既有最大值,又有最小值 D.既无最大值，又无最小值4函数f(x)=的最小值是 ( )A. B.3 C.+ D.35若f(x),g(x)都是奇函数，且F(x)=f(x)+g(x)+2在(0,+)有最大值8，则在(-,0)上，F(x)有( )A.最小值-8 B
3、.最大值-8 C.最小值-6 D.最小值-46如果0a1,0xy0时,f(x)0,且f(1)=-2.求函数f(x)在-3,3上的最大值和最小值.15已知定义域为0,1的函数f(x)同时满足：对于任意x0,1,总有f(x)0，f(1)=1;若x10,x20,x1+x21,则有f(x1+x2)f(x1)+f(x2).(1)求f(0)的值；(2)求函数f()的最大值；(3)证明：当x(,1)时，有f(x)2x成立；当x0,时，有f(x)f(2x)成立.16如图所示，公园有一块边长为2a的等边ABC的边角地，现修成草坪，图中DE把草坪分成面积相等的两部分，D在AB上，E在AC上.(1)设AD=x(xa
4、),ED=y,求用x表示y的函数关系式.(2)如果DE是灌溉水管，为节约成本，希望它最短，DE的位置应该在哪里?如果DE是参观线路，则希望它最长，DE的位置又应该在哪里?请予以证明.四、思考与讨论(12)17设f(x)是定义在R上以2为周期的函数，且是偶函数，在区间2,3上，f(x)=4-2(x-3)2(1)求x1,2时f(x)的表达式；(2)若矩形ABCD的两个顶点A、B在x轴上，C、D在y=f(x)(0x2)的图象上，求矩形ABCD的面积S的最大值参考答案1D x+2y=1(x0)表示射线，x2+y2的最小值为02+()2=.2B lgx+lgy=lg(xy)，又xy=(2x)(5y)=1
5、0，lg(xy)1，即lg(xy)max=1.3A 根据根与系数的关系建立关系式即得.4A 设M(x,0)是x轴上一点,A(0，2)，B(2,-1)，则=|MA|+|MB|,当M、A、B三点共线时，f(x)min=.5D F(x)-2=f(x)+g(x)是奇函数且在(0，+)上F(x)-2的最大值是8-2=6.于是F(x)-2在(-,0)上的最小值是-6,在(-,0)上，F(x)的最小值是-4.6C 0a1,0xy0,logay0，logax+logay2=2，即loga(xy)2,0a1,0x1,x2-x10由条件得:f(x2-x1)0，f(x2)-f(x1)f(x2)，f(x)在0,3上是
6、减函数.又f(x)为奇函数,f(x)在-3,0上也是减函数.从而f(x)在-3,3上是减函数,f(x)max=f(-3)=-f(3)=-f(1+2)=-f(1)-f(1+1)=-3f(1)=6f(x)min=f(3)=-f(-3)=-6.点评 对于抽象函数，往往是通过研究函数的单调性求最值.15(1)解 令x1=x2=0,由条件得f(0+0)f(0)+f(0),f(0)0.又知f(0)0,f(0)=0.(2)解 任取0x1x21.x2-x1(0,f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)+x1-f(x1)f(x2-x1)+f(x1)-f(x1)0,f(x2)f(x1).于是当0x1时，有f(x)
7、f(1)=1,即函数f(x)的最大值为1.(3)证明 1.又f(x)1,当x(,1)时，f(x)2x.当x0,时，02x1,f(2x)f(x)+f(x)=2f(x),f(x)f(2x).16解 (1)ABC的边长为2a,D在AB上，则ax2a,SADE=SABC，xAEsin60=(2a)2.AE=，在ADE中，由余弦定理y2=x2+-2xcos60，y2=x2+-2a2，y=(ax2a).(2) y=(ax2a).令x2=t，则a2t4a2,且y=.设f(t)=t+ ，当ta2,2a2时，可证f(t)为减函数.当t2a2,4a2时，可证f(t)为增函数.又f(2a2)=4a2,f(4a2)=
8、f(a2)=5a2，t=2a2时f(t)有最小值，即x=a时，ymin=a.此时DEBC;t=a2或4a2时，f(x)有最大值，即x=a或x=2a时，ymax=a，此时DE为AB或AC边上的中线.17解 (1)当1x2时，-3x-4-2，24-x3.f(x)=f(x-4)=f(4-x)=4-2(4-x-3)2=4-2(x-1)2(2)当0x1时，2x+23，f(x)=f(x+2)=4-2(x-1)20x2时，f(x)=4-2(x-1)2设A(1-t,0),B(1+t,0)(0t1).|BC|=|AD|=f(1+t)=4-2t2S=|AB|BC|=2t(4-2t2)=4t(2-t2).S2=16t2(2-t2)28=8()3S,等号成立时t=.Smax=.
