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1、 2.6 案例分析1：中国人口时间序列模型（file:b2c1） 图2.11 中国人口序列（1949-2000） 图2.12 中国人口一阶差分序列（1950-2000）从人口序列图可以看出我国人口总水平除在1960和1961两年出现回落外，其余年份基本上保持线性增长趋势。47年间平均每年增加人口1451.5万人，年平均增长率为17.5 。由于总人口数逐年增加，实际上的年人口增长率是逐渐下降的。把47年分为两个时期，即改革开放以前时期（19491978）和改革开放以后时期（19781996），则前一个时期的年平均增长率为20，后一个时期的年平均增长率为13.4。从人口序列的变化特征看，这是一个非
2、平稳序列。见人口差分序列图。建国初期由于进入和平环境，同时随着国民经济的迅速恢复，人口的年净增数从1950年的1029万人，猛增到1957年的1825万人。由于粮食短缺，三年经济困难时期是建国后我国惟一一次人口净负增长时期（1960，1961），人口净增值不但没有增加，反而减少。随着经济形势的好转，从1962年开始人口年增加值迅速恢复到1500万的水平，随后呈连年递增态势。1970年是我国历史上人口增加最多的一个年份，为2321万人。随着70年代初计划生育政策执行力度的加强，从1971年开始。年人口增加值逐年下降，至1980年基本回落到建国初期水平。1981至1991年人口增加值大幅回升，主要
3、原因是受19621966年高出生率的影响（1963年为43.73）。这种回升的下一个周期将在2005年前后出现，但强势会有所减弱。从数据看，1992年以后，人口增加值再一次呈逐年下降趋势。由于现在的人口基数大于以往年份，所以尽管年增人口仍在1千万人以上，但人口增长率却是建国以来最低的（1996年为10.5）。从yt的变化特征看，1960，1961年数据可看作是两个异常值，其它年份数据则表现为平稳特征。但也不是白噪声序列，而是一个含有自相关和（或）移动平均成分的平稳序列。下面通过对人口序列yt和人口差分序列Dyt的相关图，偏向关图分析判别其平稳性以及识别模型形式。图2.13 yt的相关图，偏相关
4、图图2.14 Dyt的相关图，偏相关图（虚线到中心线的距离是2 (1/) = 0.28）见图2.13和图2.14。人口序列yt是非平稳序列。人口差分序列Dyt是平稳序列。应该用Dyt建立模型。因为Dyt均值非零，结合图2.14拟建立带有漂移项的AR(1)模型。估计结果如下：Dyt = 0.1429 + 0.6171 (Dyt-1 - 0.1429) + vt (8.7) (5.4) R2 = 0.38, Q = 5.2, Qa (k-p-q) = Q0.05 (10-1-0) = 16.9整理：Dyt = 0.0547 + 0.6171 Dyt-1 + vt特征根是1 / 0.62 = 1.6
5、1。EViews操作方法：从EViews主菜单中点击Quick键，选择Estimate Equation功能。随即会弹出Equation specification对话框。输入1阶自回归时间序列模型估计命令（C表示漂移项）如下：DY C AR(1) 图2.15 表2.5中模型（1）残差序列的相关图，偏相关图下面进行预测：Dy2001 = 0.0547 + 0.6171 Dy2000 + vt = 0.0547 + 0.6171 0.0957 = 0.1138 y2001 = y2000 + Dy2001 = 12.6743 + 0.1138 = 12.7881EViews给出的预测值是12.7
6、8806，两种计算途径的结果相同。EViews操作是，把样本容量调整到1949-2001。打开估计式窗口，在方程设定（Equation Specification）选择框输入命令，D(Y) C AR(1)，保持方法（Method）选择框的缺省状态（LS方法），在样本（Sample）选择框中把样本范围调整至1949-2000。点击OK键，得到估计结果后，点击功能条中的预测（Forecast）键。得对话框及各种选择状态见下图。点击OK键，YF和YFse序列出现在工作文件中。打开YF序列窗口，得2001年预测值12.78806，见前图。已知2001年中国人口实际数是12.7627亿人。预测误差为 h
7、 = 0.002 解法2： 把中国人口序列yt看作是含有确定性趋势的时间序列。前提是中国人口序列yt必须是退势平稳序列。用yt对时间t回归,得yt = 5.0152 + 0.1502 t + ut(110) (102) R2 = 0.995, (1949-2001)单位根检验式如下。dut = -0.0940 ut-1 + 0.6681 dut-1(-2.5) (6.3) R2 = 0.45, (1951-2001)ut是一个平稳序列。所以yt是一个退势平稳序列。有理由建立一个含有固定趋势项的是时间序列模型。通过观察ut的相关图和偏相关图，判定ut是一个二阶自回归过程。建立含有固定趋势项的二阶
8、自回归模型如下： yt = 4.9729 + 0.1508 t + 1.5503 ut-1 - 0.6491 ut-2 + vt , (1949，t = 1)(34.9) (35.4) (13.7) (-5.9) R2 = 0.995, (1951-2000)或写为yt = 4.9729 + 0.1508 t + ut, (1949，t = 1)(34.9) (35.4) 其中ut = 1.5503 ut-1 - 0.6491 ut-2 + vt , (1949，t = 1) (13.7) (-5.9) 根据上式预测，2001年中国人口预测数是12.9664亿人。已知2001年中国人口实际数是
9、12.7627亿人。预测误差为 h = 0.016案例2 日本人口时间序列模型日本历史上有两次大规模向国外学习的过程。一次是大化改新。大化改新（公元645-649）是一场以圣德太子政治理念为基础的贵族革命。圣德太子（公元574-622）一心加强皇权，决心向中国学习，启蒙日本。他四度向中国派遣使团和留学生。在它的影响下，其死后23年，即公元645年，中大兄皇子发动政变，成功地建立了类似唐朝的中央集权机构。一次是明治维新。明治维新始于1868年。从而开始了全面向西方学习的历史。口号是“富国强兵”。主要措施是（1）加强中央集权，1871年实施“废藩治县”，（2）1872年采取美国三权分立的政治体制，
10、（3）1872年统一货币，实行1日元= 1美元的兑换率，（3）1872年开始修铁路、建立现代统计制度，采用阳历等，（4）1873年迁都东京。福泽谕吉（1835-1901）教育家、启蒙思想家人口数字之所以起于1872年，是因为1872年日本才有了全国人口统计数字。在122年间（1872-1994），日本人口从3480.6万人增至12503.4万人（3.6倍）。日本人口增加的特点是两头慢，中间快。同时在1944-1946年和1972年人口总量出现了激烈波动。1944-1946年的波动是因为战败，1972年的波动是由于美国归还冲绳。由图1中的相关图可以判定日本人口序列yt是一个非平稳序列。由图2可以
11、看出日本人口差分序列Dyt是一个平稳序列。图3是日本人口的二次差分序列DDyt。它也是一个平稳序列。差分序列Dyt的极差是0.059，差分序列DDyt的极差是0.087。可见DDyt是一个过度差分序列。应该用Dyt建立时间序列模型。 图1 日本人口序列(yt) 日本人口差分序列(Dyt) 图2 yt的相关图与偏相关图, Dyt的相关图与偏相关图 图3 日本人口二次差分序列D2yt D2yt相关图、偏相关图由Dyt的相关图、偏相关图（见图2）初步判定应建立AR(3) 或AR(4) 模型。估计结果如下： AR(3) 模型图4 EViews估计结果图5 模型 (2.79) 残差的相关图与偏相关图对应
12、的模型表达式是Dyt = 0.0076 + 0.2627 (Dyt-1 - 0.0076) + 0.2767 (Dyt-3 - 0.0076) + vt (7.4) (3. 0) (3.2) R2 = 0.19, Q = 7.0, Qa (k-p-q) = Q0.05 (15-3-0) = 21.0整理：Dyt = 0.0076 (1-0.2627-0.2767) + 0.2627 Dyt-1 + 0.2767 Dyt-3 + vtDyt = 0.0035 + 0.2627 D yt-1 + 0.2767 D yt-3 + vt通过t值、DW值、F值和Q值，说明 (2.79) 式是一个满意的日
13、本人口模型。图5显示模型 (2.79) 的残差中已不含有自回归和移动平均成分。模型特征方程的3个根是 z1 = 1 / 0.75 = 1.33 z2 = 1 / (-0.24 - 0.56 i ) = 0.9375 - 2.1875i z3 = 1 / (-0.24 + 0.56 i ) = 0.9375 +2.1875i下面利用模型 (2.79) 预测 y1995，并计算预测误差。已知dy1994 = 0.0027，dy1992 = 0.00409，则预测结果是， 1995 = 0.0035 + 0.2627 Dy1994 + 0.2767 Dy1992 = 0.0035 + 0.2627
14、0.0027 + 0.2767 0.0041 = 0.0053 1995 = y1994 +1995 = 1.25034 + 0.0053 = 1.25564已知1995年日本人口实际数是1.25569亿人。预测误差为 h = 0.00004日本人口数据也可以拟合成一个不含漂移项的AR(4) 模型。估计结果如下，Dyt = 0.2559 Dyt-1 + 0.1933 Dyt-2 + 0.2687 Dyt-3 + 0.2096 Dyt-4 + ut (11.59)(2.8) (2.1) (2.9) (2.3)R2 = 0.18, DW=2.0, F=8.1, Q(15) = 6.0, c 2 0.05 (11) = 19.7(11.59) 式中的所有自回归系数都通过了t检验。DW=2.0，Q(15) = 6.0 c 2 0.05 (15-4) = 19.7。模型特征方程的4个根是 z1 = 1 / 0.97 = 1.03 z2 = 1 / (-0.09 - 0.63 i ) = 0.23 -1.62 i z3 = 1 / (-0.09 + 0.63
