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1、2014年哈尔滨市第三中学第一次高考模拟考试答案数学(理工类)一、选择题1.C 2.B 3.D 4.C 5.B 6.B 7.C 8.C 9.B 10.D 11.A 12.A二、填空题13. 14. 15. 16. 三、解答题17.解:(I),所以数列为等差数列,则;-3分,所以,则;-6分(II),则两式相减得-9分整理得.-12分18.解:()因为第四组的人数为,所以总人数为:,由直方图可知,第五组人数为:人,又为公差,所以第一组人数为:45人,第二组人数为:75人,第三组人数为:90人O0.020.040.0675808590951000.080.010.030.050.07-4分()设事
2、件甲同学面试成功,则.8分()由题意得, , 分布列为0123.12分19. (I),为的中点,又底面为菱形, ,又平面,又平面,平面平面;-6分(II)平面平面,平面平面,平面.以为坐标原点,分别以为轴建立空间直角坐标系如图.则,设(),所以,平面的一个法向量是,设平面的一个法向量为,所以取,-9分由二面角大小为,可得:,解得,此时-12分20. 解:(I)因为点在抛物线上, 所以,有,那么抛物线-2分 若直线的斜率不存在,直线:,此时-3分 若直线的斜率存在,设直线:,点,有,-5分 那么,为定值.-7分(II) 若直线的斜率不存在,直线:,此时若直线的斜率存在时,-9分点到直线:的距离-
3、10分,令,有,则没有最大值.-12分21. 解:()当时,则,令,则,显然在上单调递减.又因为,故时,总有,所以在上单调递减.-3分又因为,所以当时,从而,这时单调递增,当时,从而,这时单调递减,当变化时,的变化情况如下表:+0极大所以在上的极大值是.-5分()由题可知,则. 根据题意方程有两个不等实数根,且, 所以,即,且.因为,所有. 由,其中, 可得 又因为,将其代入上式得: ,整理得.-8分 即不等式对任意恒成立(1) 当时,不等式恒成立,即;(2) 当时,恒成立,即令,显然是上的减函数,所以当时,所以;(3)当时,恒成立,即由(2)可知,当时,所以; 综上所述,.-12分22. ()连接,则,所以,所以,所以四点共圆.5分()因为,则,又为三等分,所以,又因为,所以,.10分23.(I)直线的普通方程为:; 曲线的直角坐标方程为-4分(II)设点,则所以的取值范围是.-10分24. (I)不等式的解集是-5分(II)要证,只需证,只需证而,从而原不等式成立.-10分