第三章矩阵力学基础(I)—力学量和算符上一章，中我们系统地介绍了波动力学它的着眼点是波函数薛定谔从粒子的波动性出发，用波函数猫述粒子的运动状态通过在波函数的运动方程中引入的方法进行量子化，在一定的边界条件下，求解定态薛定谔方程，证明对于束缚态，会出现量子化的、分立的本征谱在本章和下一章中，我们将介绍另一种量子化的方案它是海森伯（Heisenberg）、玻恩、约丹(Jordan)、坎拉克(Dirac)提出和实现的着眼点是力学量和力学量的测量他们将力学量看成算符通过将经典力学运动方程中的坐标和动量都当作算符的方法，引入和的对易关系.将经典的泊松括号改为量子的泊松括号，实现量子化这种量子化，通常称为正则量子化在选定了一定的“坐标系”或称表象后，算符用矩阵表示算符的运算归结为矩阵的运算本章将首先讨论力学量的算符表示和算符的矩阵表示，证实量子力学中的力学量必须用线性厄米算符表示在选取特定的表象即“坐标系”后，这些算符对应线性厄米矩阵然后进一步讨论力学量的测量，它的可能值、平均值以及具有确定值的条件我们将证实算符的运动方程中含有对易子，出现在矩阵力学中，算符的运动方程起着和波动力学中波函数的运动方程—薛定谔方程—同样的作用。
§3. 1力学量的平均值在量子力学中，微观粒子的运动状态用波函数描述一旦给出了波函数，就确定了微观粒子的运动状态.于是自然要问，所谓“确定”是什么意思，在什么意义下讲“确定”?在本章中我们将看到:所谓“确定”，是在能给出几率和求得平均值意义下说的一般说来，当微观粒子处在某一运动状态时，它的力学量，如坐标、动量、角动量、能量等，不同时具有确定的数值，而具有一系列可能值，每一可能值均以一定的概率出现当给定描述这一运动状态的波函数后，力学量出现各种可能值的相应的概率就完全确定利用统计平均的方法，可以算出该力学量的平均值，进而与实验的观测值相比较例如处于基态的氢原子其电子的坐标和动量不同时具有确定的数值但电子坐标具有某一确定值的概率，或电子动量具有某一确定值的概率，却完全可由氢原子的基态波函数给出相应地，坐标的平均值和动量的平均值也完全确定既然一切力学量的平均值原则上均可由给出，而且这些平均值就是在所描述的状态下相应的力学量的观测结果，在这种意义下一般认为，波函数描写了粒子的运动状态在§2.3讨论薛定愕方程时曾指出，力学量动量用算符来表示的对应关系是:，动能是，定态薛定愕方程就是能量算符的本征方程。
现在问:这种力学量用算符来表示的对应关系，是否仅是一种类比，其中是否还存在着更深刻的物理内涵?另外，是否任何力学量，均可用算符表示?而且除能量算符外，其他算符是否也有相应的本征方程?如果一切力学量均可用算符表示的命题成立，其逆命题，即一切算符均对应力学量是否也成立?比方说，开方就是个算符，它是否也对应力学量?量子力学中能对应力学量的算符是否有某种限制?本章将回答这些问题为此，先讨论力学量的平均值对以波函数描述的状态，按照波函数的统计解释，表示在t时刻在中找到粒子的概率,因此坐标的平均值显然是 (3. 1.I)坐标的函数的平均值是 （3.1.2）这里已经假定，波函数满足归一化条件(2. 1 .6)式现在讨论动量算符的平均值显然,的平均值不能简单地写成因为只表示在中的概率而不代表在中找到粒子的概率要计算，应该先找出在t时刻，在中找到粒子的概率按§2.2的讨论，这相当于对作傅里叶变换，而由公式 （3.1.3）给出，动量的平均值可表示为 （3.1.4）这里已经用了若归一，则也归一的结论。
但是上面这种作法，却不但间接，而且麻烦应该找出一种直接从计算动量平均值的方法为此，我们先计算动量在方向的分量的平均值由(3.1.4)式得 (3.1.5) 利用公式 (3.1.6)可将(3.1.5)式改写为 (3.1.7) 同理有 (3.1.8) (3.1.9)由此得出结论:要在状态中求动量px 、py 、pz的平均值，只需以相应的微分算符、、，作用在上，然后乘以,再对全空间积分就可求得将(3. 1. 7)、(3.1.8)及(3.1.9)式写成矢量式，得 （3.1.10）记动量算符为 (3 .1.11)可将(3.1.10)式写成 (3 .1.12)同理，不难证实，当n为正整数时解的平均值可写成 (3.1.13)同理还可给出对、的平均值。
对于任何动量的解析函数，总可将按作泰勒展开并逐项积分，然后利用平均值公式(3.1.12)和(3.1.13)式求得它的平均值，从而有 (3. 1.14)比方，动能的平均值是 (3.1.15)角动量的平均值是 (3.1.16)(3. 1. 10)式表明:动量的平均值依赖于波函数的梯度这正是波粒二象性的反映按德布罗意关系(1.4.3)式，波长越短，动量越大显然，若越大，则越短;因而动量的平均值越大综合上述我们得出，在求平均值的意义下，力学量可以用算符来代替在用坐标表象中的波函数计算动量平均值时，需要引进动量算符除动量算符外，能量算符和角动量算符分别为 (3.1.17) (3.1.18)体系的任何一个力学量的平均值总可以表示为 (3.1.19)是与力学量相应的算符。
在本章中，算符在它的顶上用“”表示在对算符比较熟悉以后，为避免书写麻烦，我们将略去记号“”在§2.2中曾指出，同一量子态既可用坐标表象中的波函数表示，也可用动量表象中的波函数表示与在坐标表象中，动量用算符来表示相似，在动量表象中，坐标也必须用算符来表示可以证明，在动量表象中的坐标算符是 (3.1.20)平均值是 (3.1.21) (3.1.22)相应地，在动量表象中的定态薛定愕方程是 (3.1.23)请读者自己证明动量表象中的这些结论§3.2算符的运算规则若某一运算将函数二变为函数,记作 （3.2.1）则表示这一运算的符号称为算符若算符满足 （3.2.2）其中、 是任意函数，C1、C2是常数，则称为线性算符动量算符、积分算符等均为线性算符若算符满足 （3.2.3）为任意函数，则称为单位算符。
在数学上，若存在映照，将集合中的元素,映照到集合之中的元素，记作：或若集合和均为数集，则称为函数;若是一般的集合而是数集，则称为泛函；若和均为一般集合，则称为算子或算符1.算符的运算规则算符的一般运算规则如下:（1）算符之和算符和之和(十)，定义为 (3.2.4)必为任意函数显然，算符之和满足交换律和结合律而且，线性算符之和仍为线性算符2）算符之积算符和之积，定义为 (3.2.5)算符对任意函数的运算，等于先用对运算，得出，然后再用算符对进行运算得到的结果一般说来，算符之积与算符的前后次序有关，不满足交换律 (3 .2.6)比如，取；，则但因此有 (3.2.7)由于是任意函数，从(3.2.7)式得 (3.2.8)从(3.2.8)式可见记和之差为 (3.2.9)称为算符、的对易关系或对易子。
3.2.8)式表明，与的对易子若算符和的对易子为零，则称算符和对易这时、之积满足交换律：例如，与就是相互对易的算符利用对易子的定义(3.2.9)式，容易证明，存在下列恒等式： （若为常数） (3.2.10)最后一式称为雅可比恒等式作为例子，我们讨论角动量算符，它的三个分量分别是 (3. 2.11)它们和坐标算符的对易子是，， ，， (3.2.12)(3.2.12)式可表示为 (3.2.13) 上式中表示相应的分量，称为列维一斯维塔（Levi－Civita）记号，满足 (3. 2.14)任意两个相邻下脚标的对换改变正负号因此，若任意两个下脚标相同同理.可以证明角动童算符和动量算符的对易子是 (3. 2.15)角动量算符各个分量之间的对易子是 (3.2.16)(3.2.16)式表明，角动量算符的三个分量、、之间，彼此互不对易。
3.2.16)式中不为零的等式也可写成 (3.2.17) 而坐标和动量的对易子(3.2.8)式也可写成 (3.2.18)其中 (3.2.19)（3）算符的乘幂算符的次幂定义为 (3.2.20) 例如，若，则，算符之乘幂显然满足作为例子，考察由 (3.2.21)显然有由于坐标轴的选择本来就是任意的;只须保持右旋坐标系，（）的顺序不变，定义哪个轴是轴，哪个轴是轴，不影响计算结果因此有 (3.2.22)即角动量的平方算符与任何一个角动量的分量算符均对易事实上，(3.2.13), (3.2.15)和(3.2.16)式中的，正是表征了上述右旋坐标系的性质4）算符的函数若是的解析函数，则算符。