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1、 2 Cauchy中值定理和不定式极限教学目的与要求：掌握Cauchy中值定理利用罗必达法则求不定式极限掌握不同类型的不定式极限的求法。利用归结原则求不定式极限教学重点，难点：罗必达法则灵活运用求不定式极限教学内容：由Lagrange定理知道，若曲线C连续，且处处有不平行于轴的切线，其线内必有一点的切线是平行于曲线两端点的连线. 现在我们想知道的是： 当平面曲线C是用参数方程表示时，Lagrange定理如何叙述？设曲线（图6-2-(d)）的参数方程为 （） Y f (b) y=f (x)f (a)0 g (a) g (x) g (b) X且是连续的、处处有不垂直于轴的切线，端点、 的连线弦AB
2、的斜率是； 另一方面参数方程所确定函数的导数为；所以应有结论： 至少存在一点x (a,b)，使得 . 图3-5 这个结论实际上是由数学家Cauchy给出的，但他并没有局限f (x)、g (x)为参数方程的两个函数，而是作为两个一般的函数给出结论的.一 柯西中值定理现给出一个形式更一般的微分中值定理。定理6.5 （柯西中值定理） 设函数和满足（i）在上都连续；(ii)在上都可导；(iii)不同时为零；(iv)则存在，使得 (1)(析) 若，柯西定理变成拉格朗日定理，即拉格朗日定理是柯西定理的情况，我们想到用拉格朗日定理的证明来证明此定理：只须将证明拉格朗日定理所作的辅助函数中的换成，即令在满足洛
3、尔定理的定理的条件，由洛尔定理可得定理的证明。注1 柯西中值定理有着与前两个中值定理相类似的几何意义。只是现在要把这两个函数写作以为参数的参量方程 在平面上表示一段曲线（图6-5）。由于（1）式右边的表示连接该曲线两端的弦AB的斜率，而（1）式左边的 则表示该曲线上与相对应的一点）处的切线的斜率。因此（1）式即表示上述切线与弦AB互相平行。注2 ab时，Cauchy中值定理的结论仍成立.注3 如果取函数=，Cauchy中值定理就变成Lagrange中值定理了，所以Cauchy中值定理是Lagrange中值定理的推广，Rolle中值定理是Lagrange中值定理的特殊情况（要求）；Lagrang
4、e中值定理是中值定理的核心定理，故称之为微分学中值定理.例1 设函数在上连续，在内可导，则存在，使得 （2）证 设，显然它在上与一起满足柯西中值定理条件，于是存在，使得上式整理后便得到所要证明的（2）式。补充题1 设函数在点处具有连续的二阶导数，证明： 证 令 因为函数在点处具有连续的二阶导数, 故F在0的邻域内存在二阶导函数且 在点0 连续. 任取, 连续使用两次柯西中值定理, 存在及, 使得 从而有 二 不定式极限我们在第三章学习无穷小（大）量阶的比较时，已经遇到过两个无穷小（大）量之比的极限。由于这种极限可能存在，也可能不存在，因此，我们把两个无穷小量或两个无穷大量之比的极限统称为不定式
5、极限，分别记为型或型不定式极限。例如证明过的重要极限 就是 型不定式. 不定式的极限即便是知道存在，也不能用商的极限法则来求. 现在我们将以微分中值定理为理论依据、以导数为工具建立一个简便而又有效的求型、型不定式极限的方法LHospital法则. 1. 型不定式极限若，求。补充定义、在的函数值（不影响求函数极限）有，与柯西中值的结论右端很相似，由柯西中值定理的条件可知，若补上、在的某个空心邻或内可导，且，则有在该邻域内任取、在连续，在可导，且，从而存在，使 （或）若，有，从而若再补充条件存在，则有：综上所述，有如下定理：定理6.6 若函数和满足：（1）；（2）在点的某空心邻域内两者都可导，且；
6、(3)(A可为实数，也可为)。则注1 若将定理6 .6中换成，只要相应地修正条件（2）中的邻域，也可得到同样的结论。例2 求 解 容易检验与在点的邻域内满足定理6.6的条件（1）和（2），又因故由洛必达法则求得注2 如果仍是扔型不定式的极限，只要有可能，我们可再次用洛必达法则，即考察极限是否存在。当然这时和在的某邻域内必须满足定理6.6的条件。例3 求解 利用，则得例4 求解 这是型不定式极限，可直接运用洛必达法则求解，但若作适当变换，在计算上可方便些。为此，令，当时有，于是有 注3 由以上例题可以看出：两个函数之比极限为“”型，但两个函数导数之比的极限可能不是待定型，且两个函数导数之比要比这
7、两个函数之比简单，利用洛必达法则求极限是行之有效、快捷方便的方法。2. 型不定式极限若是“”型，仿定理6.6可得相应的定理。定理6.7 若函数和满足：(i) (ii)在的某右邻域内两者都可导，且；(iii)（A可为实数，也可为则(析) 由于，即不是、的可去间断点。所以不能用完全类似于定理6.6的证法来证明。证明此定理的困难之处在于不是、的可去间断点，引导学生研究是否可绕过此困难，设法找一个适当的点代替原来所起的作用。由条件（3），即有取定（代替原来的），函数与在满足柯西定理的条件，有 或 运用适当的代数恒等变形，绝对值不等式可得。，于是问题得证。注1 定理6.7对于或等情形也有相同的结论。注2
8、 如果满足条件，我们可以再次应用定理6.7。例5 求 解 由定理6.7，有 例6 求 解 。注3 若不存在，并不能说明不存在（试想，这是为什么？）注4 不能对任何比式极限都按洛必达法则求解。首先必须注意它是不是不定式极限，其次是否满足洛必达法则的其他条件。下面这个简单的极限 虽然是型，但若不顾条件随便使用洛必达法则：就会因右式的极限不存在而推出原极限不存在的错误结论。注5 若，则 为定数 0 为定数 B定数 、同时为0 、同时为如仍是待定型，可以进一步补充条件重复使用洛必达法则。3. 其他类型的不定式极限不定式极限还有, 等类型。经过简单变换，它们一般均可化为型或型的极限。例7 求解 这是一个
9、型不定式的极限。用恒等变形将它转化为型的不定式极限，并应用洛必达法则得到 例8 求解 这是一个型不定式极限。作恒等变形 其指数部分的极限是型不定式极限，可先求得 从而得到 例9 求（为常数）。解 这是一个型不定式极限，按上例变形的方法，先求型的极限：然后得到当时上面所得的结果显然成立。 例10 求解 这是一个型不定式的极限。类似地先求其对数的极限（型）： 于是有 例11 求解 这是一个型不定式极限，通分后化为型的极限，即 例12 设且已知，试求解 因为所以由洛必达法则得 (问) (1)上例解法中，已知条件用在何处？(2)如果用两次洛必达法则，得到 错在何处？最后指出，对于数列的不定式极限，可利
10、用函数极限的归结原则，通过先求相应形式的函数极限而得到结果。例13 求数列极限解 先求函数极限(型)。类似于例8，取对数后的极限为，所以由归结原则可得 =。 注 不能在数列形式下直接用洛必达法则，因为对于离散变量是无法求导数的。应用洛比达法则须注意的问题:1).验证计算的极限是不是不定式极限.不是不定式极限不能使用洛比达法则.2).除计算型与型两种不不定式极限外,计算其他五种不定式型: , 都要用对数式代数运算将它们化为不定型型或型, 然后再利用洛比达法则.3).洛比达法则的条件为充分条件,若条件不满足(比如不存在)并不能说明不存在, 此时计算极限,就只能用以前所学的有关计算方法.例子可参考前面的注4.4).应用洛比达法则,可能会出现仍是不定式极限,这时只要定理的条件满足,仍可继续用洛比达法则.5).一般来说,应用洛比达法则计算不定式极限都比较简单,但对少数的不定式极限应用洛比达法则,并不简单,甚至很繁.例如: 但是用已学过的计算方法却很简单复习思考题、作业题： 2,3,4,5(1)(3)(5)(7)(9)(11)
