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1、 I题源探究黄金母题【例1】若是夹角为的两个单位向量，则，的夹角为（）ABCD【解析】由题意，得所以，则，故选CII考场精彩真题回放【例2】【20xx全国新课标卷理】已知向量， 则（）ABCD【答案】A【解析】由题意，得，所以，故选A【例3】【重庆高考理】若非零向量满足，且，则与的夹角为（）A BCD【答案】A【例4】【20xx全国新课标卷】已知为圆上的三点，若，则与的夹角为_【答案】【解析】由，故三点共线，且是线段中点，故是圆的直径，从而，因此与的夹角为【例5】【20xx山东高考卷文】已知向量，.若向量的夹角为，则实数=（）ABC0 D【答案】B【解析】因为所以解得，故选B【例6】【20xx
2、四川高考卷理】平面向量，（），且与的夹角等于与的夹角，则（）ABCD【答案】 D.【解析】，与的夹角等于与的夹角，所以，所以，解得，故选D精彩解读【试题来源】人教版A版必修四第119页复习参考题B组第1题中第（5）题【母题评析】本题中是利用两个已知向量的线性关系表示出来的，因此求它们的夹角时主要经过四个过程：即求，主要考查向量夹角的计算及向量模、数量积的计算.对向量夹角的考查方式是近几年高考试题常常采用的命题形式之一，.【思路方法】求向量的夹角无论向量是何种形式给出，通常都要考虑如何去确定两个向量的数量积，以及两个向量模的大小，才能利用夹角运算公式【命题意图】本类题主要考查平面向量夹角的求法【
3、考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度中等或较小【难点中心】（1）平面向量的夹角公式有坐标形式与非坐标两种形式，解答时注意分析条件，选择适宜的形式；（2）利用向量夹角公式的坐标形式通常在运算上比较复杂，常常是分别计算出分子和分母的值，再代入公式中进行求解III理论基础解题原理考点一向量夹角的定义已知两个非零向量和，如图，作，则叫做向量与的夹角 显然，当时，与同向；当时，与反向如果与的夹角是，我们说与垂直，记作考点二平面向量夹角的坐标形式若向量，则考点三平面向量夹角的非坐标形式向量所成的夹角为【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，
4、难度中等或偏下，有时也会与三角函数、解三角形等知识交汇【技能方法】求解向量夹角问题通常有两类题型：（1）求已知两个向量的夹角，通常直接利用公式进行计算即可；（2）根据夹角的大小或关系求解相关的参数及其它问题，解答时通常是利用平面向量夹角公式建立方程（组）来解决，主要步骤分为两步：（1）简化向量的表达式；（2）利用向量夹角公式建立方程（组）；（3）解方程（组）求得参数【易错指导】（1）确定平面向量的夹角时必须注意向量的方向，易错误确定为夹角的补角（2）错误认为当两个向量的夹角为锐角，等价于，事实上，时，的夹角也可能为同样当两个向量的夹角为钝角，也不等价于V举一反三触类旁通考向1求两个向量的夹角【
5、例1】【20xx河北唐山一模，理3】已知向量满足，且，则与的夹角为（）ABC D 【答案】D【方法点拨】求两个向量的夹角，通常利用夹角公式直接求解，在求解中一定要抓住如何确定公式中的数量积与模的大小来展开【跟踪训练】已知向量，若，则向量与向量的夹角的余弦值是（）A B C D【答案】A考向2根据平面向量的夹角求解参数问题【例2】【山西省山西大学附中高三10月月考】已知是平面内互不相等的两个非零向量，且与的夹角为，则的取值范围是（）ABCD【答案】C【解析】如图所示，则，因为与的夹角为，即，所以设，则在中，由正弦定理得，所以，所以，故选C【名师点睛】根据向量的夹角求相关参数的值或取值范围，无论是
6、坐标形式的向量还是非坐标形式的向量夹角，都必须要建立方程（组）来解决【跟踪训练】已知向量，若向量的夹角为，则实数_A B C或0 D2【答案】A考向3平面向量夹角与函数的交汇【例3】【辽宁省沈阳东北育才学校高三上二模】已知向量满足，且关于的函数在实数集上有极值，则向量的夹角的取值范围是（）ABCD【答案】B【解析】由于在上有极值，则的值在上有正也有负，所以，即因为，得，所以，故选B【易错点晴】平面向量的夹角与函数的交汇主要体现为函数解析式中某些项的数是利用平面向量的模与数量积给出，根据函数的某些条件求向量的夹角，或给出相关向量的夹角大小或关系，求解函数的相关问题解答时通常是将向量的模与数量积当
7、作整体参与到代数运算中，求得它们的模与数量积，再求解要解答问题考向4 平面向量夹角与三角函数的交汇【例4】【北京朝阳区高考保温考试】已知向量，向量，且与的夹角为，其中是的内角（1）求角的大小；（2）求的取值范围【答案】（1）；（2）【规律总结】平面向量的夹角与三角函数的交汇通常体现为以三角函数为向量的坐标，同时给出向量的夹角大小或范围，求解角的大小及相关的参数等解答的策略主要有两类：（1）利用平面向量夹角公式化为纯三角函数，然后利用三角函数的知识求解；（2）利用三角函数知识求得平面向量的模或向量的夹角后，然后可利用平面向量夹角公式求解考向5 平面向量夹角与解析几何的交汇【例5】给定抛物线：，是的焦点，过点的直线与相交于两点设的斜率为1求与夹角的余弦值【答案】【例6】【江西赣州市上期末】设是抛物线：的焦点，过点且斜率为的直线与抛物线交于两点，设与的夹角为，则实数_【答案】【解析】设过点且斜率为的直线的方程为，与联立消去，并整理，得设，则，所以，所以，所以，与的夹角为，即，解得【名师指引】因为解析几何中曲线上的点是利用坐标表示的，这与向量的坐标运算完全融合在一起，因此圆锥曲线中的夹角问题与平面向量中的夹角问题也有紧密联系解答此类题主要是抓住向量的坐标表示及坐标间的关系，这又常常与韦达定理结合来处理
