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1、与平行四边形有关的常用辅助线作法归类解析本文结合例题归纳六类与平行四边形有关的常见辅助线，供同学们借鉴：第一类：连结对角线，把平行四边形转化成两个全等三角形。例1如左下图1,在平行四边形 ABCD中，点E,F在对角线AC上，且AE CF，请你以F为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新线段，猜想并证明它和图中已 有的某一条线段相等（只需证明一条线段即可）连结BFBF DE证明：连结 DB,DF，设DB, AC交于点0四边形ABCD为平行四边形AE FC AO AE四边形EBFD为平行四边形 AOOC,DO OBOC FC即OEOF- BFDE图1第二类：平移对角线，把平行四边形转化为梯形
2、。 例2如右图2,在平行四边形 ABCD中，对角线AC和BD相交于点0,如果AC 12,BD 10, AB m，那么m的取值围是（）A1 m 11b2 m 22 c10 m 12d5 m 6解：将线段 DB沿DC方向平移，使得 DB CE ,DC BE ,则有四边形CDBE为平 行四边形在 ACE 中，AC 12,CE BD 10, AE 2AB 2m 12 10 2m 12 10，即 2 2m 22 解得 1 m 11故选 A第三类：过一边两端点作对边的垂线，把平行四边形转化为矩形和直角三角形问题。例3已知：如左下图3,四边形ABCD为平行四边形求证：AC2 BD2 AB2 BC2 CD2
3、DA2证明：过A,D分别作AE BC于点E , DF BC的延长线于点FAC2AE2CE2AB2BE2(BCBE)2AB2BC2 2BE BCBD2DF2BF2(CD2CF2)(BCCF)2CD2 2BC 2BC CF则AC2BD2AB2BC2CD2DA2;2BCCF2BC BE四边形 ABCD为平行四边形 AB / CD 且 AB CD , AD BC ABC DCF/ AEB DFC 90 ABE DCF BE CF2 2 2 2 2 2 AC BD AB BC CD DAFFA第四类：延长一边中点与顶点连线，把平行四边形转化为三角形。例4 :已知：如右上图4，在正方形ABCD中，E,F分
4、别是CD、DA的中点，BE与 1390023900 CPB 900,则 KPB 90 APAB第五类:延长一边上一点与顶点连线，把平行四边形转化为平行线型相似三角形。E为边CD上任一点，请你在该图基础FAB例5如左下图5,在平行四边形 ABCD中，点 上，适当添加辅助线找出两对相似三角形。解：延长AE与BC的延长线相交于 F，则有AED s FEC, FAB s FEC , AED sDCF交于P点，求证：AP AB证明：延长CF交BA的延长线于点 K四边形 ABCD为正方形AB /CD 且 AB CD,CD AD, BADBCDD 901K又DDAK 90,DFAF CDF 也 KAFAKC
5、D AB1/ CECD,DF212AD CEDFBCDD 90 BCE 也 CDF12第六类：把对角线交点与一边中点连结，构造三角形中位线1例6已知：如右上图6,在平行四边形 ABCD中，AN BN ,BE 丄BC , NE3交BD于F，求BF : BD解：连结AC交BD于点O ,连结ON四边形ABCD为平行四边形 OAOC,OBODANBN ON / - BC 且 ON-BCBE1 -BC22BFONBE BE:ON2:323FO3BF2 BF:BD1:5BO5BD2BFFO综上所述，平行四边形中常添加辅助线是：连对角线，平移对角线，延长一边中点与 顶点连线等，这样可将平行四边形转化为三角形
6、（或特殊三角形）、矩形（梯形）等图形,为证明解决问题创造条件。四边形平行四边形出现，对称中心等分点。梯形问题巧转换，变为和 平移腰，移对角，两腰延长作出高。如果出现腰中点，细心连上中位线。 上述方法不奏效，过腰中点全等造。证相似，比线段，添线平行成习惯。 等积式子比例换，寻找线段很关键。直接证明有困难，等量代换少麻烦。 斜边上面作高线，比例中项一大片。梯形的辅助线口诀：梯形冋题巧转换，变为和。平移腰，移对角，两腰延长作出咼。如果出 现腰中点，细心连上中位线。上述方法不奏效，过腰中点全等造。通常情况下，通过做辅助线，把梯形转化为三角形、平行四边形，是解梯形 问题的基本思路。至于选取哪种方法，要结
7、合题目图形和已知条件。 常见的几种 辅助线的作法如下：作法图形平移腰，转化为三角形、平行四 边形。平移对角线。转化为三角形、平行四边形。A DbZ.EC延长两腰，转化为三角形。E八B C作咼，转化为 直角三角形和矩 形。AdbA!EF中位线与腰中点连线。B F（一）、平移1、平移一腰:例1.如图所示，在直角梯形 ABCD中，/ A= 90, AB/ DC； AD= 15, A吐E16, BO 17.求 CD的长.解：过点D作DE/ BC交AB于点E.又AB/CD所以四边形BCDE!平行四边形.所以 DE= BO 17, CD= BE.在Rt DAE中，由勾股定理，得aE= dE aD,即卩17
8、2- 152 = 64.所以AE= 8.所以 BE= AB-AE= 16 8 = 8.即 CD= 8.例2如图，梯形ABCD勺上底AB=3下底CD=8腰AD=4求另一腰BC的取 值围。解：过点B作BM/AD交CD于点在厶 BCM中, BM=AD=,4CM=CE DM=CD AB=8- 3=5,所以BC的取值围是：5-4BC屏 4, 即 卩 1BC92、平移两腰：例 3 如图，在梯形 ABCD中, AD/BC,/ B+Z C=90 , AD=1 BC=3 E、F分别是AD BC的中点，连接EF,求EF的长。解：过点E分别作AB CD的平行线，交BC于点G H,可得Z EG+Z EHGZ B+Z
9、C=90则厶EGH是直角三角形因为E、F分别是AD BC的中点，容易证得F是GH的中点1 1 所以 EF GH (BC BG CH )2211(BC2AEDE)BC (AE DE)21(BC2AD)1(3 1) 123、平移对角线:例 4、已知：梯形 ABC冲，AD/BC, AD=1 BC=4 BD=3 AC=4 求梯形 ABCD的面积.解：如图，作DE/ AC,交BC的延长线于E点. AD/ BC 二四边形ACED是平行四边形 BE=BC+CE=BC+AD=4+,1=DE=AC=4在 DBE中 , BD=3, DE=4 BE=5作 DHLBC于 H,贝U DHBD ED 12BE 5Z BD
10、E=90 .S(AD BC) DH 5 y 6 -S 梯形 ABCD 6例5女口图，在等腰梯形 ABCD中，AD/BC, AD=3 BC=7 BD=52，求证：AC丄BD解：过点C作BD的平行线交AD的延长线于点E,易得四边形BCED是平行四边形,贝U DE=BC CE=BD=2 ,所以 AE=AD- DE=AD- BC=3 7=10。在等腰梯形ABCD中, AC=BD= 2 ,所以在 ACE中, AC2 CE22)22)2 WO AE2 ,从而ACL CE于是ACL BD例 6 如图，在梯形 ABCD中, AB/CD, AC=15crp BD=20cm 高 DH=12cm 求 梯形ABCD的
11、面积。解：过点D作DE/AC,交BC的延长线于点E，则四边形ACED是平行四边形,即 S abd s acd s dce。所以 S梯形ABCDS DBE由勾股定理得EH DE2 DH2.AC2 DH 2152 1229 (cm)BHBD2DH 2. 20212216( cm)S DBE 所以-BE DH - (916) 12150(cm2)22，即梯形ABCD的面积是2150cm。（二）、延长即延长两腰相交于一点，可使梯形转化为三角形。例 7 女口图，在梯形 ABCD中, AD/BC,/ B=50,Z 求CD的长。解：延长BA CD交于点E。在厶 BCE中, Z B=50，/ C=80。所以/
12、 E=50,从而 BC=EC=5同理可得AD=ED=2所以 CD=EGED=5- 2=3例8.如图所示，四边形ABCD中, AD不平行于BC, 四边形ABCD的形状，并证明你的结论.解：四边形ABCD1等腰梯形.证明：延长AD BC相交于点E,如图所示. AO BD, AD= BC, A吐 BA DABA CBA.Z DAB=Z CBA. EA= EB.又 AD= BC, DE= CE Z EDC=Z ECD.而Z E+Z EABZ EBA=Z E+Z EDCbZ ECD= 180 Z EDC=Z EAB - DC/ AB.又AD不平行于BC,四边形ABCD是等腰梯形（三）、作对角线即通过作对
13、角线，使梯形转化为三角形。例9女口图6 ,在直角梯形 ABC冲,AD/BC , AB丄AD,C=80 , AD=2 BC=5AO BD, AD= BC.判断EBC=CDBE1 CD于点 E ,求证：AD=DE解：连结BD由 AD/BC，得/ ADB=/ DBE由 BC=CD 得/ DBCM BDC 所以/ ADB BDE又/ BAD DEB=90 , BD=BD 所以 Rt BA医 Rt BED 得 AD=DE（四）、作梯形的高1、作一条高例10女口图，在直角梯形 ABC冲，AB/DC, ABC=90 , AB=2DC对角线AC丄BD,垂足为F,过点F作EF/AB，交AD于点E,求证：四边形 ABFE是等腰 梯形。证：过点D作DGL AB于点G,
