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1、 专题升级训练 解答题专项训练(三角函数与解三角形)1.已知f(x)=mn,其中m=(sin x+cos x,cos x),n=(cos x-sin x,2sin x)(0),若f(x)图象中相邻的两条对称轴间的距离不小于.(1)求的取值范围;(2)在ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,a=,SABC=.当取最大值时,f(A)=1,求b,c的值.2.已知向量m=,n=.记f(x)=mn.(1)若f(x)=,求cos的值;(2)在ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,且满足(2a-c)cos B=bcos C,若f(A)=,试判断ABC的形状.3.(2013辽宁师大附中模拟,1
2、7)已知在锐角ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且tan B=,(1)求角B;(2)求函数f(x)=sin x+2sin Bcos x的最小值及单调递减区间.来源:4.(20xx山东滨州模拟,17)已知在锐角ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,a2+b2=6abcos C,且sin2C=2sin Asin B.(1)求角C的值;(2)设函数f(x)=sin-cos x(0),且f(x)图象上相邻两最高点间的距离为,求f(A)的取值范围.5.已知函数f(x)=cos.(1)若f()=,求sin 2的值;(2)设g(x)=f(x)f,求函数g(x)在区间上的最大值和最小值.6
3、.已知函数f(x)=sin x(0)在区间上单调递增,在区间上单调递减.在ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C所对的边,且满足.(1)证明:b+c=2a;(2)如图,点O是ABC外一点,设AOB=(0),OA=2OB=2,当b=c时,求平面四边形OACB面积的最大值.7.设函数f(x)=sin+2cos2.(1)求f(x)的最小正周期.(2)若函数y=g(x)与y=f(x)的图象关于直线x=1对称,当x时,求函数y=g(x)的最小值与相应自变量x的值.8.已知函数f(x)=(cos x+sin x)(cos x-sin x).(1)求函数f(x)的最小正周期;(2)若0,0,且f,f,求s
4、in(-)的值.#1.解:(1)f(x)=mn=cos 2x+sin 2x=2sin.f(x)图象中相邻的对称轴间的距离不小于,.0.(2)当=时,f(x)=2sin,f(A)=2sin=1.sin.0A,A+,A=.来源:由SABC=bcsin A=,得bc=2.又a2=b2+c2-2bccos A,b2+c2+bc=7.由,得b=1,c=2;或b=2,c=1.2.解:(1)f(x)=mn=sincos+cos2sincos=sin.f(x)=,sin=1.cos=1-2sin2=-1,cos=-cos=1.(2)(2a-c)cos B=bcos C,由正弦定理得(2sin A-sin C)
5、cos B=sin Bcos C,2sin Acos B-sin Ccos B=sin Bcos C.2sin Acos B=sin(B+C).A+B+C=,sin(B+C)=sin A,且sin A0.cos B=.又B(0,),B=.由f(x)=sin,且f(A)=,sin,A=或A=(舍去),A=,C=,ABC为正三角形.3.解:(1)tan B=,cos B=,tan B=,来源:从而sin B=.又0B,B=.(2)由(1)得f(x)=sin x+cos x=2sin.x,x+,当x=时,f(x)取得最小值为1,且f(x)的单调递减区间为.4.解:(1)因为a2+b2=6abcos
6、C,由余弦定理知a2+b2=c2+2abcos C,所以cos C=.又因为sin2C=2sin Asin B,则由正弦定理得c2=2ab,所以cos C=.来源:因为0C,所以C=.(2)f(x)=sin-cos x=sin x-cos x=sin.由已知得=,所以=2,即f(A)=sin.因为C=,B=-A,又因为0A,0B,所以A,所以02A-.根据正弦函数图象,所以0f(A).5.解:(1)因为f()=cos,所以(cos +sin )=.所以cos +sin =.平方得,sin2+2sin cos +cos2=.所以sin 2=.(2)因为g(x)=f(x)f=coscos=(cos
7、 x+sin x)(cos x-sin x)=(cos2x-sin2x)=cos 2x.当x时,2x.所以,当x=0时,g(x)取得最大值为;当x=时,g(x)取得最小值为-.6.解:(1)证明:由题意知:,解得=.,sin Bcos A+sin Ccos A=2sin A-cos Bsin A-cos Csin A,sin Bcos A+cos Bsin A+sin Ccos A+cos Csin A=2sin A,sin(A+B)+sin(A+C)=2sin A,sin C+sin B=2sin A,b+c=2a.(2)解:b+c=2a,b=c,a=b=c,ABC为等边三角形.SOACB=
8、SOAB+SABC=OAOBsin +AB2=sin +(OA2+OB2-2OAOBcos )=sin -cos +=2sin.(0,),-.当且仅当-,即=时取最大值,SOACB的最大值为2+.7.解:(1)f(x)=sin+2cos2来源:=sincos-cossin=sincoscos=sincos=sin,T=12.(2)方法一:由题意知:g(x)=f(2-x)=sin=sin=-sin.x,-.g(x)min=-,此时,即x=.方法二:可以求x关于x=1的对称区间x上函数f(x)的最值.8.解:(1)f(x)=(cos x+sin x)(cos x-sin x)=cos2x-sin2x=cos 2x,函数f(x)的最小正周期为T=.(2)由(1)得f(x)=cos 2x.f,f,cos =,cos =.0,0,sin =,sin =.sin(-)=sin cos -cos sin =.
