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1、课时跟踪检测(二十)圆锥曲线中的定点、定值问题A卷1(2019广东佛山普通高中月考)已知椭圆C1：1(ab0)的右顶点与抛物线C2：y22px(p0)的焦点重合，椭圆C1的离心率为，过椭圆C1的右焦点F且垂直于x轴的直线截抛物线所得的弦长为4.(1)求椭圆C1和抛物线C2的方程；(2)过点A(2,0)的直线l与C2交于M，N不同的两点，若点M关于x轴的对称点为M，证明：直线MN恒过一定点解：(1)依题意，可得a，则C2：y24ax，令xc得y24ac，即y2，所以44，所以ac2.则解得a2，b，所以椭圆C1的方程为1，抛物线C2的方程为y28x.(2)证明：依题意可知直线l的斜率存在且不为0
2、，可设l：xmy2，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则M(x1，y1)，联立消去x，得y28my160，由0，得m1.因为y1y28m，y1y216，所以m，所以直线MN的斜率kMN，可得直线MN的方程为yy2(xx2)，即yxy2xx(x2)，所以当m1时，直线MN恒过定点(2,0)2(2019江西模拟)在直角坐标系xOy中，已知椭圆E的中心在原点，长轴长为8，椭圆在x轴上的两个焦点与短轴的一个顶点构成等边三角形(1)求椭圆的标准方程；(2)过椭圆内一点M(1,3)的直线与椭圆E交于不同的A，B两点，交直线yx于点N，若m，n，求证：mn为定值，并求出此定值解：(1)由已知得，2a8，
3、a2c，则a4，c2，又b2a2c2，b212，椭圆的标准方程为1.(2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，N，由m，得m(1x1,3y1)，x1，y1，A，点A在椭圆1上，1，得到9m296m48x0；同理，由n，可得9n296n48x0.m，n可看作是关于x的方程9x296x48x0的两个根，则mn为定值B卷1(2019河南模拟)已知曲线C1：x2y2r2(r0)和C2：1(ab0)都过点P(0，2)，且曲线C2的离心率为.(1)求曲线C1和曲线C2的方程；(2)设点A，B分别在曲线C1，C2上，PA，PB的斜率分别为k1，k2，当k14k20时，问直线AB是否过定点？若过定点，
4、求出定点坐标；若不过定点，请说明理由解：(1)曲线C1：x2y2r2(r0)和C2：1(ab0)都过点P(0，2)，r2，b2，曲线C1的方程为x2y24.曲线C2的离心率为，e21，a4，曲线C2的方程为1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线PA的方程为yk1x2，代入到x2y24，消去y，可得(1k)x24k1x0，解得x0或x1，y1，直线PB的方程为yk2x2，代入方程1，消去y，可得(14k)x216k2x0，解得x0或x2，y2.k14k2，直线AB的斜率k，故直线AB的方程为y，即yx2，直线AB恒过定点(0,2)2(2019顺义区模拟)已知椭圆C：1(ab0)的离
5、心率为，长轴长为2.(1)求椭圆C的方程；(2)斜率为1的直线l过椭圆C的右焦点F，交椭圆C于A，B两点，设M为椭圆C上任意一点，且(，R)，其中O为原点，求证：221.解：(1)设椭圆的焦距为2c，故a23b2.a，b1，椭圆C的方程为y21.(2)证明：设M(x，y)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，(，R)，(x，y)(x1，y1)(x2，y2)，故xx1x2，yy1y2.又点M在椭圆C上，(x1x2)23(y1y2)23.整理可得2(x3y)2(x3y)2(x1x23y1y2)3.又焦点F的坐标为(，0)，AB所在的直线方程为yx，代入方程y21，得4x26x30.x1x2，x1x2，x1x23y1y24x1x23(x1x2)63960；又点A，B在椭圆C上，故有x3yx3y3.将代入可得221.1
