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1、第六章 分析力学1虚功原理：（平衡时）理想条件下，力学系的平衡条件是各质 点上的主动力所作的虚功之和为零： 用广义坐标来表述： 2达朗贝尔原理（动力学下的虚功原理）： 析，均是在时间未变化（）时所设想的量，而广义坐标可以是角度，长度或其它的独立的坐标变量。3拉格朗日方程 在保守力下，取拉氏数 方程为： 若拉氏数中不显含广义坐标，则：即 循环积分： 4微振动非线性系统在小角度近似下，对拉氏方程的应用5哈密顿函数与正则方程（1） 哈密顿函数 式中为广义坐标动量（2） 正则方程 若哈氏函数中不显含广义坐标，则：即：循环积分 在稳定条件下（H中不显含），则有能量积分：6泊松括号 7哈密顿原理与正则变换
2、（1）哈密顿原理保守力系下：定义：为主函数（3） 正则变换通过某种变数的变换，找到新的函数，使正则方程的形式不变（相当于坐标变换）。新的正则变量： 正则变换的条件： 依上亦可得： 为母函数，当 ，不显含时，以上条件等于：析：正则变换妙在不解方程而使问题出解。“得意忘形”到极点了。解题演示1. 一长为质量为的匀质棒，斜靠在固定的半球形碗的边缘，一端置于碗内，如图。已知碗是光滑的，半径为；棒在碗内的长度为 。用虚功原理证明棒的全长为。解：如右图所示，取定。依几何关系知：依余弦定理：知：杆的势能：因静平衡，应用虚功原理得：得：两边平方并代入可解得：2. 用绳子等距离地在定点O处悬挂两个相同的匀质球，
3、两球之上另放置一相同的球体，如图。已知分别悬挂两球的绳长都是。用虚功原理求出角与角之间的关系。 解：依受力分析知且： 则：依虚功原理达到平衡时有： 可得： 3. 用轻质橡皮圈捆扎三个置于光滑水平桌面上的相同球体，捆扎的高度与还需心的高度相同。将第四个同样的球体置于三球之上。由虚功原理求出橡皮圈中的张力。已知每个球体的重量为。解：如右图所示。取三个桌面上球的球心所在面，及四球心立体结构可分析得：皮周长：依虚功原理：则依： 代入： 得：4. 一弹性绳圈，它的自然长度为，弹性系数为，单位长度质量（线密度）为。将此弹性圈套在一半径为的光滑球面上，弹性圈因自重而下滑。用虚功原理法语出平衡时弹性绳圈对球心
4、所张的角度为应满足的方程。解：易知：绳伸长量 以O为参照点，高度为： 化简得：5. 一半径为的半球形碗内装有两个质量分别为和的球体，它们的半径同为（）。用虚功原理求出这两个球体在碗中平衡时它们的连心线与水平线间的夹角解：如右图所示，以o为参照点，取， 与水平线角为。则有： 则： 代入 得： 6. 一轻杆长为，一端光滑铰链于固定点O，另一端点及中点分别焊接有质量为和的小球。杆可在铅直平面内绕固定点摆动。写出此力学 系统的拉格朗日函数，并求出其作微小摆动时的周期。解：以O为参照点，取杆与竖直方向夹角为。则有： 拉氏函数： 解拉氏方程：微振动，取近似， 得： 积分： （A，B为积分常数）则：7. 一
5、半径为质量为的圆柱形轱辘，其轴线沿水平方向。轱辘上绕有长为的轻绳，绳的自由端系一质量为的重物。初始时绳子完全绕在轱辘上，体系静止。尔后重物下落带动轱辘转动。写出此力学系列化的拉格朗日函数，并求出绳子完全释放时轱辘转动角速度的大小。解：如右图，取为转过的角度，为下降的距离。有：。取O为参照点： 则： 得： 积分得：当完全释放（）时：8. 上题中，如果绳子具有弹性，弹性势能为，为绳子的伸长证明重物的运动为维持恒定的加速运动上附加一角频率为的振动。其中。求出此种振动的振幅。设初始时绳子完全绕在轱辘上，体系静止，尔后释放解：参数同上题，则可得:;则： 可得：即： 积分得： 式中 故： 即得恒定加速度值
6、：振动角频率： 振幅：9. 力学系统如图所示。二滑轮为相同的圆盘，半径为质量为。悬挂的重物质量分别为和，且。初始时系统静止（1）导出此力学系列化的运动微分方程；（2）分别求出两重物下降的速度与重物下落距离之间的关系。解：如右图。依几何关系知：得：取作广义坐标有： 可得： 可得：即得系统运动的微分方程：再对其进行第一积分：可积得：10. 一质量为，半径为的小圆住体，置于一半径为R的大圆柱面的内侧作纯滚动。写出小圆柱体的拉格朗日函数，并求出在最低点附近小圆柱体作微小振动时的周期解：以O为参照点： 则： 得：即：11. 一质量为，半径为的小圆柱体，放在半径为的另一大圆柱体上，大圆柱体则置于粗糙的水平
7、面上。两柱体的轴相互平等，质心在同一竖直平面内，初始时力学系统静止。若以初始时大圆柱体的质心为固定坐标系的坐标原点，证明此后的任意时刻小圆柱体的质心坐标为 解：由于纯滚动则：得： 有： 则：得： 所以： 点评：其实此类题用能量变分法有时更简单（对或关于变量的变分为零）。此题中：。12. 小球1和小球2的质量分别为和，用绳子相连，绳子穿过光滑水平桌面上的小孔。小球1在桌面上运动，小球2则垂直悬挂在桌面下。写出此力学系的拉格朗日函数和所有的第一积分。设绳长为。解：设到孔的距离为。以孔为参照点有： （此式中用到） （1）L中不含积分，循环积分：（2）能量表达式中不含，能量积分： 13. 长为，质量为
8、的匀质棒，两端分别用长都为的轻绳垂直悬挂。今若突然将其中一根绳子剪断，用拉格朗格日方程求出棒下落的运动微分方程。解：参量及坐标如右图所示。则： 故： 得拉氏方程：微分方程为：14. 一半径为，质量为的圆环，用三根长度都为的无弹性轻绳在等弧点处水平悬挂，成一扭摆，如图所示。求此扭摆绕中心铅直轴扭转的微振动周期T。解：易分析得： （用到） 得： 15. 如图所示的耦合摆，若两摆锤的质量不同，分别为和。求此耦合摆的本征频率。初始条件为时，仅第一个摆有微小偏移，求第二个摆可能达到的最大摆幅。当第二个摆的摆动最大时，第一个摆的摆幅是否为零？解： 经泰勒展开：关于与的拉氏方程为：令 代入得： ，有解的条件
9、：可解出：且：。则与通解为： 式中代入时，可解出： 且令：则：第二个摆的最大摆幅： 此时：则有：16. 摆长为，摆捶质量为的两个相同单摆串接成为一个双摆，如图。求此双摆在铅直平面内作微振动时的各个本征频率。解：易知： （，如右图）则： 可得拉氏方程：设：可得：有非零解条件：易得：所有本征频率为： 17. 两质量为和另一个质量为的球体用两根劲度系数都为的轻质弹簧沿一直线串接，如图.求出体系的微振动本征频率解:取弹簧所在方向建立坐标系，且取参量如右图。有： 依振动特点，取简正坐标：代入上式得： 得拉氏方程： 设得： 方程有非零解的条件：可解得： 18. 一质量为的质点在一光滑锥面的内壁上运动。锥体
10、的半顶角为，锥体口朝上。以质点离锥体顶点的距离及围绕锥体轴线转动的角度为广义坐标，写出质点的哈密顿函数；当质点绕锥体轴转动的角速度为多大时，可以绕轴作稳定的圆周运动？解：此系统为保守系，参照如右图所示。则： 定义广义动量：得： 则： 得： 联： 当稳定时：，此时：代入：可解得： 19. 一质量为的质点在三维势场中运动。以球坐标，和为质点的广义坐标，写出此质点的哈密顿函数。哪些广义坐标为循环坐标？并写出相应的循环积分。解：如右图取地球中心为坐标原点，取参数如图.则: 则:哈密顿函数为:广义动量坐标:得： 代入H得：上式中不含，故为循环坐标故： 20. 写出对称陀螺丝绕其顶点O作定点运动的哈密顿量
11、。设陀螺关于对称轴及横轴的转动惯量分别为I,.质心离项点的距离为.解:依题参数如右图则有:则: 可得: 则：21. 力学量A，B和C都是体系正则变量的函数，证明它们的泊松括号存在如下关系： ； 解：证明：（1） （2） （3） 22. 证明，任何正则变量的函数，存在如下关系： 证明：（1） 得： （2） 得：23. 证明一质点关于坐标原点的位矢，动量和角动量的直角坐标分量存在如下关系： ； ； ； ； ； ： 证明：可得：（1） （2） （3） 24. 试问变换是正则变换吗？ 解：因为：则：即：是正则变换25. 取母函数，求出正则变换关系。 解： 26. 试证变换为一正则变换。 证明： 27. 证明，变换关系为一正则变换。 证明：依，可得： 28. 质量为m的质点竖直上抛，写出质点运动的哈密顿函数。利用母函数作正则变换，求解此质点的运动。求解此质点的运动。其中为质点上抛的距离，为“新广义坐标”；在初始时刻。解： 则：
