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1、4.4 分步Fourier法波动方程叠前深度偏移在相移偏移方法的基础上，把速度场分解为常速背景和变速扰动两部分：对常速背景在频率-波数域采用相移处理；对层内的变速扰动，在频率-空间域采用时移校正（第二次相移）。该偏移方法称为分步Fourier（SSF）方法。该算法在数值上通过了脉冲响应测试、凹陷模型叠后深度偏移和Marmousi模型叠前深度偏移验证，说明它在较复杂地质条件下是一种稳定快速的叠前深度偏移算法，并可用做偏移速度分析。一概述 偏移方法由于波场延拓不同而相互区别。双程波波动方程有限差分法逆时偏移可以适应速度场的纵横向的任意变化，且不存在偏移倾角限制。但从经济可行性上考虑，人们一般采用单
2、程波方程的有限差分法偏移。这种用于波场延拓的单程波方程是舍弃了高阶项的近似方程，方程的阶数、空间采样率以及差分计算是采用显格式还是隐格式，都会直接影响计算的精度和稳定性。另外有限差分计算还存在频散影响。而相移法偏移（Stolt, 1978; Gazdag, 1978）是一种典型的Fourier偏移方法，它在频率-波数域求解微分方程，计算是精确和绝对稳定的，由于借助于快速Fourier变换，该算法的运行效率非常高。然而，频率-波数域的相移处理是基于层内常速假设的，不能正确处理横向速度有变化的地震波成像问题。Gazdag & Sguazzero（1984）提出用“相移加内插（PSPI）”来克服相移
3、法这一困难。即在每一层选取多个常速度作为参考速度，每个参考速度按相移法求取延拓波场，然后把各个延拓波场依据实际速度与参考速度的关系函数做内插，得到实际的延拓波场值。这种偏移方法同样是绝对稳定的，但其计算量随所取常速度的个数呈倍数关系增加，且也仅能适应速度场较缓慢的横向变化。为了利用Fourier偏移方法的优势，进一步提高偏移方法适应速度横向变化的能力，Stoffa（1990）在相移偏移的基础上，提出一种新的深度偏移方法，即分步Fourier法。该方法基于速度场分裂的思想，把整个速度场视为常速背景和变速扰动的叠加。在逐层波场延拓时，针对常速背景采用相移处理，即在频率-波数域实现，针对层内的变速扰
4、动，在频率-空间域采用时移校正。该方法继承了相移法的优点，同时也能适应速度场的中等程度的横向变化。且与相移法深度偏移比较，每层在计算上仅多出一次反Fourier变换和一次时移校正，在计算量上比“相移加内插”法要节省得多。本节各部分依次从方法原理、相对误差分析、实现流程和数值试算等方面对分步Fourier叠前深度偏移方法加以介绍，最后得出相应的结论。二分步Fourier偏移方法的基本原理恒密度介质中的压缩波的传播特征可用如下方程描述： （4-65）其中，代表压力值，是介质速度。将（4-65）式变换到频率域，得 （4-66）其中，为圆频率，为波场的频率域形式： （4-67）设为介质慢度，若将慢度场
5、分解为两部分： （4-68）其中，为背景慢度场分量，它在层内是一个常数。为层内扰动慢度分量。定义为参考慢度。将（4-68）式代入（4-66）式得： （4-69）其中： （4-70）通过引进一个源项，（4-66）式的齐次方程就转换成了（4-69）式的非齐次方程。依据地震波场的叠加原理，方程（4-69）的解可以表示成： （4-71）其中，前者是背景慢度引起的波场，它为整个波场的主值部分；后者为波场的扰动项。由于为（4-69）式所对应的齐次方程的解，故满足： （4-72）由相移法可知，（4-72）式的解可写成： （4-73）而是方程（4-69）的解，它是由层内扰动源引起的。基于波动方程的格林函数解法
6、，有频率-波数域非均匀介质中的Kichhoff积分表达式（Berkhout, 1985）： （4-74）其中，（4-73）和（4-74）式中“”分别对应下行波正向延拓方程和上行波反向延拓方程。假设无多次波等干涉影响，对下行波波场沿时间传播方向正向延拓（深度向下延拓）的方程可以表示为： （4-75）其中，第一项代表在常慢度背景介质中的下行波波场深度延拓式子。第二项代表当前延拓步内二次源引起的附加波场分量。它实际是关于二次源的体积分形式，其格林函数为第一类Hankel函数。以上是在原介质条件下的准确推导。为便于求解，我们开始对慢度场做一些限定。由于大多数情况下，慢度扰动相对于2倍背景慢度要小得多，
7、即介质慢度场满足如下的界定条件： （4-76）这时，（4-70）式中关于慢度扰动的二阶项可以忽略不记。即有： （4-77）再把（4-77）式代入（4-75）式，转入频率-空间域可得到： （4-78）式中： （4-79）（4-78）式中的积分可近似写成求和形式： （4-80）把（4-80）式代入（4-78）式加以整理，并由可得： （4-81）由（4-73）和（4-81）式，我们得到下行波深度外推公式： （4-82）在（4-82）式中，前者为对应背景慢度的相移处理，它在频率-波数域实现；后者为针对慢度扰动的时移处理（也叫做第二次相移），它在频率-空间域实现。同理可得到上行波深度外推公式： （4-8
8、3）与下行波深度外推公式结合，依据成像条件，即可进行波动方程叠前深度偏移处理。由于我们采用的成像公式与第三节中频率-空间域有限差分法叠前深度偏移的成像公式完全相同，这里就不再赘述。三算子的相对误差分析频率-空间域下行波正向传播方程可以表示为： （4-84）其中，平方根算子定义为： （4-85）这里为圆频率，为介质慢度。由（4-84）式可得到如下波场延拓式子： （4-86）在分步Fourier传播算子中，平方根算子由下式近似表示： （4-87）式中，为参考慢度，是背景介质的波数。为了评价上面平方根算子近似处理的误差，特假设介质为均匀常速介质。若将（4-87）式转入波数域，并令 （4-88）则有：
9、 （4-89）式中，波数，且为其横向分量（水平分量）。（4-85）式同样可表示为： （4-90）对以轴呈角的平面波，有： （4-91）则（4-90）式成为： （4-92）且（4-89）式成为： （4-93）对于单程波的传播和偏移问题，角度满足： 因此若，总有。则相对误差可定义为： （4-94）则有： （4-95）（4-95）式表明，当或时，。这意味着传播角度较小或横向速度变化非常小时，所导出的分步Fourier算子是较精确的。该算子关于传播角度及其相对误差的曲线如图 4-14所示。从图中我们可以看出，随着传播角度的增大，相对误差也随之增大。值越接近于1，即横向速度变化越小，算子的相对误差也就越
10、小。若以为允许的相对误差限，分步Fourier算子的最大偏移倾角平均约为。另外，高波数成分（对应陡倾地层）除相位上误差较大外，振幅也会存在严重的失真。综上可见，分步Fourier偏移方法虽然具备一定的处理速度横向变化的能力，但在复杂地质体成像问题上仍然有局限。图4-14 分步Fourier算子传播角度与相对误差关系曲线图四单炮叠前深度偏移流程基于共炮集的叠前深度偏移是对每一炮分别成像，然后把所有炮的成像值在相应的空间位置叠加，最后得到整个地下的成像剖面。对某一炮，在每一步深度延拓过程中，先分别对震源模拟记录和当前炮集记录按各自的延拓公式计算，然后依据两种延拓波场按成像公式求取成像值。接着以延拓
11、后的输出波场作为下一层延拓的输入初值，进行同样的延拓和成像计算。下面这个流程图（图4-15）直观地反映了单炮成像的过程。五数值试算下面分别从脉冲响应、凹陷模型叠后深度偏移处理和Marmousi模型叠前深度偏移处理来验证分步Fourier深度偏移算子的性能。1脉冲响应测试首先，对比分步Fourier深度偏移算子在常速介质和不同速度扰动程度的介质（）中的脉冲响应曲线。脉冲放置在，处。以下各图中虚线表示理想的脉冲响应曲线，为一半圆，实线为实际介质中的脉冲响应曲线。所有情况的介质速度都为，当参考速度分别取、和时，对应不同的脉冲响应曲线，它们可以反映算子适应横向速度变化的能力。如图 4-16a所示，当时
12、，参考速度与实际速度相同，即为均匀常速介质，此时的脉冲响应曲线与理论曲线完全重合。这正如我们所料，当速度不存在扰动时，分步Fourier深度偏移算子的最大偏移倾角可达。然而，当速度存在微小扰动，如我们取时，其脉冲响应曲线如图4-16b所示。可见在传播角度较小（约）时，实际脉冲响应曲该炮叠前记录FFT变换到频率域当前炮震源模拟记录FFT变换到频率域按叠前成像条件，由延拓后的频率域上下波场相关求和，得到深度域的成像值层内下行波相移处理层内下行波时移处理层内上行波相移处理层内上行波时移处理FFT变换到频率-波数域FFT变换到频率-波数域IFFT变换到频率-空间域IFFT变换到频率-空间域图4-15 分步Fourier法单炮叠前深度偏移流程图线与理论曲线吻
