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1、一次函数知识讲解 1正比例函数的定义 一般地，形如y=kx（k是常数，k0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数 2正比例函数的图像 正比例函数y=kx（k是常数且k0）的图像是一条经过原点（0，0）和点（1，k）的直线，我们称它为直线y=kx；当k0时，直线y=kx经过第一，三象限，y随着x的增大而增大，当k0b0第一，二，三象限y随x的增大而增大b0第一，三，四象限k0第一，二，四象限y随x的增大而减小b0）个单位得到一次函数y=kx+bm；一次函数y=kx+b沿着x轴向左（“”）、右（“”）平移n（n0）个单位得到一次函数y=k（xn）+b；一次函数沿着y轴平移与沿着x轴平移往往是
2、同步进行的只不过是一种情况，两种表示罢了；直线y=kx+b与x轴交点为（，0），与y轴交点为（0，b），且这两个交点与坐标原点构成的三角形面积为S=b例题解析 例1 （2006，江西省）已知直线L1经过点A（1，0）与点B（2，3），另一条直线L2经过点B，且与x轴相交于点P（m，0） （1）求直线L1的解析式； （2）若APB的面积为3，求m的值 【分析】函数图像上的两点坐标也即是x，y的两组对应值，可用待定系数法求解，求函数与坐标轴所围成的三角形面积关键是求出函数解析式的k，b的值 【解答】（1）设直线L的解析式为y=kx+b，由题意得 解得 所以，直线L1的解析式为y=x+1 （2）当点
3、P在点A的右侧时，AP=m（1）=m+1，有SAPC=（m+1）3=3 解得m=1，此时点P的坐标为（1，0）； 当点P在点A的左侧时，AP=1m，有S=（m1）3=3，解得m=3，此时，点P的坐标为（3，0） 综上所述，m的值为1或3 【点评】先设一次函数的解析式，再代入点的坐标，利用方程组求解，其步骤是：设、代，求、答 例2 （2004，黑龙江省）下图表示甲，乙两名选手在一次自行车越野赛中，路程y（km）随时间x（min）的变化的图像（全程），根据图像回答下列问题： （1）求比赛开始多少分钟时，两人第一次相遇？ （2）求这次比赛全程是多少千米？（3）求比赛开始多少分钟时，两人第二次相遇【分
4、析】观察图像知，甲选手的路程y随时间x变化是一个分段函数，第一次相遇时是在AB段，故求出15x33时的函数关系式；欲求出比赛全程，则需知乙的速度，这可由第一次相遇时的路程与时间的关系求得，要求第二次相遇时间，即先求甲在BC段的函数关系式，再求出BC和OD的交点坐标即可 【解答】（1）当15x33时，设yAB=k1x+b1，将（15，5）与（33，7）代入得： 解得 yAB=x+ 当y=6时，有：6=x+，解得x=24 比赛进行到24min时，两人第一次相遇 （2）设yOD=kx，将（24，6）代入得：6=24k, k= yOD=x 当x=48时，yOD=48=12 比赛全程为12km （3）当
5、33x43时，设yBC=k2x+b2，将（33，7）和（43，12）代入得： 解得yBC=x解得 比赛进行到38min时，两人第二次相遇 【点评】解答图像应用题的要领是从图像的形状特点、变化趋势、相关位置、相关数据出发，充分发掘图像所蕴含的信息，利用函数、方程（组）、不等式等知识去分析图像以解决问题 例3 （2006，贵州铜仁）铜仁某水果销售公司准备从外地购买西瓜31t，柚子12t，现计划租甲，乙两种货车共10辆，将这批水果运到铜仁，已知甲种货车可装西瓜4t和柚子1t，乙种货车可装西瓜，柚子各2t （1）该公司安排甲，乙两种货车时有几种方案？ （2）若甲种货车每辆要付运输费1800元，乙种货车
6、每辆要付运输费1200元，则该公司选择哪种方案运费最少？最少运费是多少元？【解答】（1）设安排甲种货车x辆，则安排乙种货车为（10x）辆，依题意，得 解这个不等式组，得5.5x8 x是整数，x可取6，7，8 即安排甲，乙两种货车有三种方案： 甲种货车6辆，乙种货车4辆 甲种货车7辆，乙种货车3辆 甲种货车8辆，乙种货车2辆 （2）设运费为y元，则y=1800x+1200（10x）=600x+12000 当x取6时，运费最少，最少运费是：15600元 【点评】本例需要考生构建一元一次不等式和一次函数来解决实际问题，以考查学生运用综合知识，分析、解决问题的能力强化训练一、填空题1（2006，绍兴）
7、如图所示，一次函数y=x+5的图像经过点P（a，b），Q（c，d），则a（cd）b（cd）的值为_2（2005，重庆市）直线y=x+8与x轴，y轴分别交于点A和点B，M是OB上的一点，若将ABM沿AM折叠，点B恰好落在x轴上的点B处，则直线AM的解析式为_3（2006，白云区）关于x的一次函数y=（a3）x+2a5的图像与y轴的交点不在x轴的下方，且y随x的增大而减小，则a的取值范围是_4已知一次函数y=kx+b（k0）的图像经过点（0，1），且y随x的增大而增大，请你写出一个符合上述条件的函数关系式_5（2005，黑龙江省）一次函数y=kx+3的图像与坐标轴的两个交点之间的距离为5，则k 的
8、值为_6（2005，包头市）若一次函数y=ax+1a中，y随x的增大而增大，且它的图像与y轴交于正半轴，则a1+=_ 8如图所示，点M是直线y=2x+3上的动点，过点M作MN垂直x轴于点N，y轴上是否存在点P，使以M，N，P为顶点的三角形为等腰直角三角形小明发现：当动点M运动到（1，1）时，y轴上存在点P（0，1），此时有MN=MP，能使NMP为等腰直角三角形在y轴和直线上还存在符合条件的点P和点M请你写出其他符合条件的点P的坐标_二、选择题9（2006，南安）如图所示，一个蓄水桶，60min可匀速将一满桶水放干其中，水位h（cm）随着放水时间t（min）的变化而变化h与t的函数的大致图像为（
9、 ） 10（2005，杭州市）已知一次函数y=kxk，若y随x的增大而减小，则该函数的图像经过（ ） A第一，二，三象限 B第一，二，四象限 C第二，三，四象限 D第一，三，四象限11（2008，济南）济南市某储运部紧急调拨一批物资，调进物资共用4h，调进物资2h后开始调出物资（调进物资与调出物资的速度均保持不变）储运部库存物资S（t）与时间t（h）之间的函数关系如图535所示，这批物资从开始调进到全部调出所需要的时间是（ ） A4h B4.4h C4.8h D5h12（2006，泉州）小明所在学校离家距离为2km，某天他放学后骑自行车回家，行驶了5min后，因故停留10min，继续骑了5mi
10、n到家，下面哪一个图像能大致描述他回家过程中离家的距离s（km）与所用时间t（min）之间的关系（ ）13（2006，黄冈）如图所示，在光明中学学生体力测试比赛中，甲，乙两学生测试的路程s（m）与时间t（s）之间的函数关系图像分别为折线OABC和线段OD，下列说法正确的（ ） A乙比甲先到达终点 B乙测试的速度随时间增加而增大 C比赛进行到29.7s时，两人出发后第一次相遇D比赛全程甲的测试速度始终比乙的测试速度快14（2005，黄冈市）有一个装有进，出水管的容器，单位时间内进，出的水量都是一定的已知容器的容积为600L，又知单开进水管10min可把空容器注满若同时打开进，出水管，20min可
11、把满容器的水放完现已知水池内有水200L，先打开进水管5min，再打开出水管，两管同时开放，直至把容器中的水放完，则能正确反映这一过程中容器的水量Q（L）随时间t（min）变化的图像是下图中的（ ）15（2005，重庆市）为了增强抗旱能力，保证今年夏粮丰收，某村新修建了一个蓄水池，这个蓄水池安装了两个进水管和一个出水管（两个进水管的进水速度相同），一个进水管和一个出水管的进出水速度如图a，b所示，某天0点到6点（至少打开一个水管），该蓄水池的蓄水量如图c所示，并给出以下3个论断：0点到1点不进水，只出水；1点到4点不进水，不出水；4点到6点只进水，不出水，则一定正确的论断是（ ） (a) (b
12、) (c) A B C D16（2008，重庆）如图所示，在直角梯形ABCD中，DCAB，A=90，AB=28cm，DC=24cm，AD=4cm，点M从点D出发，以1cm/s的速度向点C运动，点N从点B同时出发，以2cm/s的速度向点A运动，当其中一个动点到达端点停止运动时，另一个动点也随之停止运动，而四边形ADMN的面积y（cm2）与两动点的运动时间t（s）的函数图像大致是（ ） 三、解答题17（2008，河北）如图所示，直线L1的解析表达式为y=3x+3，且L1与x轴交于点D直线L2经过点A，B，直线L1，L2交于点C （1）求点D的坐标； （2）求直线L2的解析表达式； （3）求ADC的面积；（4）在直线L2上存在异于点C的另一点P，使得ADP与ADC的面积相等，请直接写出点P的坐标18（2008，南京）一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发设慢车行驶的时间为x（h），两车之间的距离为y（km），下图中的折线表示y与x之间的函数关系根据图像进行以下探究： 信息读取: （1）甲，乙两地之间的距离为_km;（2）请解释图中点B的实际意义 图像理解: （3）求慢车和快车的速度
