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1、4 二次函数性质的再研究1二次函数的图像变换及参数a，b，c，h，k对其图像的影响(1)函数yx2和yax2(a0)的图像之间的关系二次函数yax2(a0)的图像可由yx2的图像各点的纵坐标变为原来的a倍得到，参数a的取值不同，函数及其图像也有区别，a决定了图像的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小当a0时，二次函数yax2的图像开口向上，当a0时，图像开口向下而且，当a0时，a的值越大，函数yax2的图像开口越小，a的值越小，函数yax2的图像开口越大；当a0时，a的值越小，函数yax2的图像开口越小，a的值越大，函数yax2图像开口越大也就是说，|a|越大，抛物线的开口越小；反之，|a|
2、越小，抛物线的开口越大(2)函数yax2和ya(xh)2k(a0)的图像之间的关系函数ya(xh)2k(a0)的图像能够由函数yax2(a0)的图像向左(h0)或向右(h0)平移|h|个单位，再向上(k0)或向下(k0)平移|k|个单位得到h决定了二次函数图像的左右平移，而且“h正左移，h负右移”；k决定了二次函数图像的上下平移，而且“k正上移，k负下移”可简记为“左加右减，上加下减”因为只实行了图像的平移变换，所以函数ya(xh)2k(a0)的图像与函数yax2(a0)的图像形状相同，仅仅位置不同(3)函数yax2和yax2bxc(a0)的图像之间的关系二次函数yax2bxc(a0)通过配方
3、能够得到其恒等形式ya(xh)2k(a0)，从而能够知道，由yax2的图像如何平移就得到yax2bxc(a0)的图像对于二次函数yax2bxc(a0)，即(a0)，二次项系数a决定着函数图像的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小；b和a共同决定抛物线对称轴的位置，抛物线的对称轴是直线，它是一条平行于y轴或与y轴重合的直线；a，b，c共同决定抛物线顶点的位置，c的大小决定抛物线yax2bxc与y轴交点的位置，当c0时，抛物线经过坐标原点，当c0时，抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴，当c0时，交点在y轴的负半轴【例11】(1)由y2x2的图像，如何得到y2(x1)23的图像？(2)把y2x2的图
4、像，向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，能得到哪个函数的图像？(3)将函数y4x22x1写成ya(xh)2k的形式，并说明它的图像是由y4x2 的图像经过怎样的变换得到的？解：(1)把y2x2的图像向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度就得到y2(x1)23的图像(2)把y2x2的图像，向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，就得到函数y2(x3)24，即y2x212x22的图像(3)y4x22x1.把y4x2的图像向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，就可得到函数y4x22x1的图像【例12】在同一坐标系中作出下列函数的图像，并分析如何把yx2的图像变换成y2x24
5、x的图像(1)yx2；(2)yx22；(3)y2x24x.分析：解答本题可就每个函数列表、描点连线，作出相对应图像，然后利用图像以及二次函数的平移变换规律分析yx2与y2x24x的图像之间的关系解：(1)列表：x3210123yx29410149yx227212127y2x24x301660206描点、连线即得相对应函数的图像，如图所示(2)y2x24x2(x22x)2(x22x11)2(x1)22.由yx2到y2x24x的变化过程如下方法一：先把yx2的图像横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍得到y2x2的图像，然后把y2x2的图像向下平移2个单位长度得到y2x22的图像，最后把y2x22的图像
6、向右平移1个单位长度得到y2(x1)22，即y2x24x的图像方法二：先把yx2的图像向右平移1个单位长度得到y(x1)2的图像，然后把y(x1)2的图像横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍得到y2(x1)2的图像，最后把y2(x1)2的图像向下平移2个单位长度便可得到y2(x1)22，即y2x24x的图像析规律 yx2与其他二次函数的关系所有二次函数的图像均能够由函数yx2的图像经过变换得到，变换前，先将二次函数的解析式化为顶点式，再确定变换的步骤常用的变换步骤如下：yx2yax2yax2kya(xh)2k，其中a决定开口方向及开口大小(或纵坐标的拉伸)；h决定左、右平移，k决定上、下平移【例1
7、3】已知二次函数f(x)ax2bxc与函数y2x23x有相同的开口方向和大小，与函数有相同的对称轴，与函数y4x2x1在y轴上有相同的交点(1)求f(x)(2)由yx2的图像能得到f(x)的图像吗？分析：(1)根据a，b，c对f(x)的图像影响，由y2x23x确定a，由确定b，由y4x2x1确定c；(2)由yx2的图像得f(x)的图像要分步骤：yx2yax2ya(xh)2ya(xh)2k，因此先将f(x)的解析式化为f(x)a(xh)2k的形式解：(1)f(x)与y2x23x有相同的开口方向和大小，a2.f(x)与函数有相同的对称轴，.又a2，b1.f(x)与函数y4x2x1在y轴上有相同的交
8、点(0，1)，c1.f(x)2x2x1.(2)f(x).将函数yx2图像的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍得到函数y2x2的图像；将函数y2x2的图像向右平移个单位，再向下平移个单位得到函数的图像，即函数y2x2x1的图像谈重点 由yx2的图像得到yax2bxc的图像的基本要求解决本题的关键是明确a，b，c对函数yax2bxc(a0)图像的影响以及利用配方法将yax2bxc化为ya(xh)2k的形式，这是一项基本要求，往往由于配方过程中出现错误导致后面解答全部错误2二次函数图像的草图画法画二次函数的图像时，重点体现抛物线的特征“三点一线一开口”“三点”中有一个点是顶点，另两个点是抛物线上关
9、于对称轴对称的两个点，常取与x轴的交点；“一线”是指对称轴这条直线；“一开口”是指抛物线的开口方向根据这些特征，在坐标系中可快速画出抛物线的草图，使画图的操作更简便，使图像更精确【例2】画出函数y2x24x6的草图解：y2x24x62(x22x)62(x22x11)62(x1)2162(x1)28.函数图像的开口向上，顶点坐标为(1，8)，对称轴为直线x1.令y0得2x24x60，即x22x30，x1或x3，故函数图像与x轴的交点坐标为(1,0)，(3,0)画法步骤：(1)描点画线：在平面直角坐标系中，描出点(1，8)，(1，0)，(3,0)，画出直线x1；(2)连线：用光滑的曲线连点(1，8
10、)，(1,0)，(3,0)，在连线的过程中，要保持关于直线x1对称，即得函数y2x24x6的草图，如图所示3二次函数解析式的求法求二次函数的解析式，应根据已知条件的特点，灵活地运用解析式的形式，选取最佳方案，用待定系数法求之(1)当已知抛物线上任意三点时，通常设所求二次函数为一般式yax2bxc(a，b，c为常数，a0)，然后列出三元一次方程组求解(2)当已知二次函数图像的顶点坐标或对称轴方程与最大(小)值，则设所求二次函数为顶点式ya(xh)2k(其顶点是(h，k)，a0)(3)当已知二次函数图像与x轴的两个交点的坐标为(x1,0)，(x2,0)，则设所求二次函数为交点式ya(xx1)(xx
11、2)(a0)【例3】已知二次函数的图像的顶点坐标是(1，3)，且经过点P(2,0)，求这个函数的解析式分析：本题已知图像上两点的坐标(1，3)和(2,0)，若不考虑已知点的特点，设二次函数的一般式yax2bxc(a0)似乎差一个条件，但注意到点(1，3)是抛物线的顶点，再利用对称轴方程，就可以列出关于a，b，c的三元一次方程组，从而得解；根据顶点坐标是(1，3)，也可设二次函数的顶点式ya(x1)23(a0)，只需将点P(2,0)的坐标代入，即可求出a；若看到P(2,0)点是图像与x轴的交点，利用对称性即可求出图像与x轴的另一个交点，设二次函数的交点式ya(xx1)(xx2)也能求解解：(方法
12、1)设所求函数的解析式为yax2bxc(a0)，由题意，得解得所求函数的解析式为y3x26x.(方法2)设所求函数的解析式为ya(x1)23(a0)，由图像经过点P(2,0)，得a(21)230，解得a3.所求函数的解析式为y3(x1)23，即y3x26x.(方法3)二次函数的图像的顶点坐标为(1，3)，其对称轴为直线x1.又图像与x轴的一个交点坐标为P(2,0)，由对称性可知，图像与x轴的另一个交点坐标为(0,0)可设所求函数的解析式为ya(x0)(x2)(a0)图像的顶点坐标是(1，3)，a(10)(12)3，解得a3.所求函数的解析式为y3x(x2)，即y3x26x.析规律 二次函数图像
13、对称性的一个用途若二次函数yf(x)的图像与x轴的两个交点坐标为(x1,0)和(x2,0)，则其对称轴方程为，由此可以看出，已知二次函数的对称轴及其与x轴的一个交点坐标，即可求出另一个交点的坐标4二次函数的性质二次函数f(x)ax2bxc可以通过配方转化为f(x)，结合图像观察得到其主要性质，如下表：a0a0图像开口方向向上向下顶点坐标对称轴直线x单调区间f(x)在上是减少的，在上是增加的f(x)在上是增加的，在上是减少的最值当x时，函数取得最小值当x时，函数取得最大值由上表可以看出，函数的性质就是函数图像特征的具体描述，因此可借助于图像特征来理解记忆二次函数的主要性质以上大部分性质在初中都已
14、了解，新增加的是单调区间，所以，教科书首先通过图像观察得到函数的单调区间，然后利用单调性的定义进行了严格的证明，用定义证明函数单调性的方法和步骤在前面已经学过【例41】分别指出下列二次函数图像的开口方向、顶点坐标、对称轴方程，写出函数的单调区间及最大值或最小值(1)yx24x9；(2)y2x24x3.分析：首先将所给的二次函数解析式配方化成顶点式，然后利用图像研究其性质解：(1)yx24x9(x2)25，由于x2的系数是正数，所以函数图像开口向上；顶点坐标为(2,5)；对称轴方程为x2；函数在区间(，2上是减少的，在区间2，)上是增加的；函数有最小值，没有最大值，函数的最小值是5.(2)y2x24x32(x1)21，由于x2的
