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1、第10讲 数列的通项公式的求法一、本讲目标： 掌握求数列通项的常用方法；通过递推关系探讨数列的通项公式，这类问题的处理方法是向特殊数列（等差、等比数列）转化，利用特殊数列的性质求数列的通项公式。二、知识要点：1公式法(1)设是等差数列，首项为，公差为，则其通项为；(2)设是等比数列，首项为，公比为，则其通项为；(3)已知数列的前项和为，则。2求递推数列的常用方法： 递推关系形如：的数列用累加法直接求解，得，（）然后求解。 递推关系形如：的数列用累乘法直接求解，得，（） 递推关系形如：（为常数且）的数列两边同除于，求出的表达式，再求；还有形如的递推式，也可采用取倒数方法转化成为形式，利用后面的第
2、类方法解决； 递推关系形如：（为p，q为常数且）的数列（）通过待定系数法化为，再利用等比数列求出的表达式，进而求出；（）也可由得两式相减可得：，利用成等比数列求出，再利用累加法求；（）也可利用迭代法得：，求和得； 递推数列形如：的数列（为常数且）（）可化为 ，利用第种类型求出后解出；（）也可利用累加法：， ，由上述个等式相加可解解出； 递推数列形如：的数列用待定系数法，设为，就是，则可从，解得，于是是公比为的等比数列，这样就转化为类型。3特征根法设二阶常系数线性齐次递推式为（），其特征方程为，其根为特征根。 （1）若特征方程有两个不相等的实根，则其通项公式为（），其中A、B由初始值确定；（2）
3、若特征方程有两个相等的实根，则其通项公式为（），其中A、B由初始值确定。证明：设特征根为，则所以=即是以为公比，首项为的等比数列。所以，所以(1)当时，则其通项公式为，其中，；(2)当时，则其通项公式为，其中4不动点法若，则称为的不动点，利用不动点法可将非线性递归式化归为等差数列、等比数列或易于求解的递关系的递推关系，从而达到求解的目的。典型例子：令，即，令此方程的两个根为：若，则有（构造等差数列）其中可以用待定系数法求解，然后再利用等差数列通项公式求解。若，则有其中，可以用待定系数法求解，然后再利用等比数列通项公式求解。5数学归纳法三、例题选讲例1设数列的前项和为已知，（）设，求数列的通项公
4、式；（）若，求的取值范围变式1设数列满足，求数列的通项。例2在数列中，且（）（）设（），证明是等比数列；（）求数列的通项公式；（）若是与的等差中项，求的值，并证明：对任意的，是与的等差中项变式2已知数列的首项，前项和，求数列的通项公式。例3. 在数列中，当时，有，求的通项公式。例4.在数列中，当时，有，求的通项公式。变式3：已知函数，为函数的导函数若数列满足：，（），求数列的通项。例5在数列中，求的通项公式。例6设数列的前项和为 已知（I）设，证明数列是等比数列 （II）求数列的通项公式。例7已知a1=2，点(an,an+1)在函数f(x)=x2+2x的图象上，其中=1，2，3，（）证明数列l
5、g(1+an)是等比数列；（）设Tn=(1+a1) (1+a2) (1+an)，求Tn及数列an的通项；例8（1）已知数列的首项，求的通项公式；（2）已知函数已知数列满足,求数列的通项公式。例9设为实数，是方程的两个实根，数列满足，（）（1）证明：，；（2）求数列的通项公式；（3）若，求的前项和例10设数列的前n项和为，并且满足，（nN*）.（1）求，；（2）猜想的通项公式，并加以证明；四、巩固练习：1设，则数列的通项公式= 2设数列的前项和为，对任意的正整数，都有成立，数列的通项公式是 。设an是首项为1的正项数列，且(n+1)an+12nan2an+1an=0，(n=1,2,3,)，则它的通项公式是an= .已知数列an的各项均为正数，且前n项之和Sn满足6Sn=an2+3an+2，若a2、a4、a9成等比数列，求数列的通项公式。已知数列的前n项和（n为正整数）。令，求证数列是等差数列，并求数列的通项公式；各项均为正数的数列，且对满足的正整数都有求通项设数列的前项和为，已知（）证明：当时，是等比数列；（）求的通项公式设数列和满足，且 求证：是完全平方数。（2000年全国高中联赛加试题）8
