《历届(110)希望杯数学邀请赛1式高二试题(含答案)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《历届(110)希望杯数学邀请赛1式高二试题(含答案)（29页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第一届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)第一试1990年3月18日 上午8：3010：00一、选择题1、等差数列的第p项是1990，第1990项是p，那么第p + q（q 1991）项（ ）（A）是正数 （B）是负数 （C）是零 （D）符号不能确定2、设S k =+ +，则（ ）（A）S k + 1 = S k + （B）S k + 1 = S k +（C）S k + 1 = S k +（D）S k + 1 = S k +3、函数y =（ ）（A）有最小值没有最大值 （B）有最大值没有最小值（C）有最小值也有最大值 （D）没有最小值也没有最大值4、a，bR，那么| a + b | = | a |
2、 | b |是a b 0的（ ）（A）充要条件 （B）充分不必要条件 （C）必要不充分条件 （D）不充分也不必要条件5、 ( k Z )，那么sec 与sin 2 tan的符号（指正负号）（ ）（A）总是相同 （B）总是相异（C）在第一、三象限时，它们同号，在第二、四象限时，它们异号（D）在第一、三象限时，它们异号，在第二、四象限时，它们同号6、正四面体内切球的体积是V，则它的外接球的体积是（ ）（A）8V （B）27V （C）64V （D）4V7、一个平面最多把空间分为两部分，两个平面最多把空间分为四部分，三个平面最多把空间分为八部分，那么，四个平面最多把空间分成（ ）（A）16部分 （B）
3、14部分 （C）15部分 （D）20部分8、设a = arcsin ( sin)，b = arccos ( )，c = arcsin ( )，则（ ）（A）a b c （B）b a c （C）c a b （D）b c a9、方程arccot x + arcsin x = 的实数根的个数是（ ）（A）0 （B）1 （C）2 （D）310、在四个数arctan，arccos，arcsin，2 arctan (+)中，与arcsin数值相等的个数是（ ）（A）0 （B）1 （C）2 （D）3二、填空题11、方程arcsin ( sin x ) + arccos ( cos x ) =的解集是 。12
4、、与直线x + 2 y 3 = 0关于直线x = a（a为常数）对称的直线的方程是 。13、若平面内的动点P到定点F( 1，0 )的距离比点P到y轴的距离多1，则动点P的轨迹方程是 。14、函数y = 2 3 ( x 1，2 )的反函数为 y = f ( x )，则f f ( 1 ) = 。15、A，B，C是三角形的三个内角，那么cos 2 A + cos 2 B + cos 2 C + 4 cos A cos B cos C = 。16、坐标平面内有两个圆x 2 + y 2 = 16和x 2 + y 2 6 x + 8 y + 24 = 0，这两个圆的内公切线的方程是 。17、棱长为1的正方
5、体ABCD A1B1C1D1中，P在线段AC内，CP = 1，则直线AD和C1P所成的角的弧度值是 。18、不等式 x + t的解集是空集，则实数t的取值范围（用区间形式）是 。19、数列 a n 中，若a 1 = 1，a 2 = 2，a n + 1 a n a n + 2 = 0，则数列的前1990项的和等于 。20、若x，y 0，且x + 2 y = 1，则( x +) ( y +)的最小值是 。答案：一、B、C、C、B、A、B、C、B、A、D；二、11、 x | x =+ k 且kZ ；12、x 2 y 2 a + 3 = 0；13、y 2 = 2 x 1；14、1；15、 1；16、3
6、 x 4 y 20 = 0；17、；18、( ，1 )(+ 1，+ )；19、5；20、。简解：1、d = 1；5、sin 2 tan= 4 sin 2cos ；6、AF =a，AO =a，OF = OG =a；8、b a 0 c；17、CC1 = CP = 1，C1P =，PQ = CQ =，C1Q =；18、 x + t ，若t 0，则有无解，则 0， t 1 +；若t 1， t 2 2 t 1 0， t 1 +（舍去）；19、 1，2，3，1， 2， 3， 1，2，3，20、2 x y () 2 =，x y ，( x +) ( y +) =。第二届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)第一试1
7、991年3月17日 上午8：3010：00一、选择题1、条件“AB 0或C = 0”是直线A x + B y + C = 0与两条坐标轴都有交点的（ ）（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充要条件 （D）以上都不对2、如果sin + cos =，且0 ，则tan 的值是（ ）（A） （B） （C） （D）3、设集合P = x，1 ，Q = y，1，2 ，其中x，y 1，2，9 ，且P Q。将满足这些条件的每一个有序整数对（x，y）看作一个点，这样的点的数目是（ ）（A）9 （B）14 （C）15 （D）214、圆台上底面积为1，下底面积为16，用一个平行于底面的平面截这个圆台，该
8、平面到上底面的距离是它到下底面距离的2倍，则这个截面的面积是（ ）（A）4 （B）9 （C） （D）5、函数y = arctan的值域是（ ）（A）( ，) （B）( 0，) （C）( ，)( 0，) （D）( ，)( 0，)6、函数f ( x ) = a sin x + b的最大值是1，最小值是 7，则b sin 2 x a cos 2 x的最大值是（ ）（A）5或4 （B）4或 5 （C）4或 3 （D）5或 37、若a是大于1的常数，则x lg x = a的全部实根之积是（ ）（A）1 （B） 1 （C）lg 2 a （D） lg a8、函数y = f ( x )有反函数，把它的图像绕原
9、点在两坐标轴所在平面内按逆时针方向旋转90，新的图像所表示的函数是（ ）（A）y = f 1 ( x ) （B）y = f 1 ( x ) （C）y = f 1 ( x ) （D）y = f 1 ( x )9、在半径为1的球体外面均匀的包上一层球壳行“外衣”，若“外衣”的体积与球的体积相等，则球壳“外衣”的厚度是（ ）（A） 1 （B） （C） （D） 110、用一个与圆台上、下底面都相交的平面截圆台，所得的截面图形是（ ）（A）等腰梯形 （B）矩形 （C）等腰梯形或等腰三角形 （D）可能是曲边图形11、曲线C 1：x 2 y 2 + 4 y 3 = 0与曲线C 2：y = a x 2（a是大
10、于0的常数）的交点个数是（ ）（A）2 （B）4 （C）6 （D）不确定12、当n 1000时，f ( n ) = n 3，当n 1000时，f ( n ) = f f ( n + 7 ) ，则f ( 90 )的值是（ ）（A）997 （B）998 （C）999 （D）100013、底面半径为1的直圆柱被一个平面所截，截面形状为椭圆，该椭圆的离心率为，这个截面与圆柱底面所成的锐角是（ ）（A） （B） （C）arccos （D）arccos14、log x y + log y x的取值范围是（ ）（A）( ，+ ) （B）( ， 2 ) 2，+ )（C）( ， 2 ) 2，+ ) （D）( ，
11、 2 )( 2，+ )15、0 ， y z t （B）y z x t （C）z y t x （D）t z y x二、填空题16、关于x的不等式log a x 1（ a 0，a 1）的解是 。17、如果不等式x 的解集是正实数集，那么实数a的取值范围是 。18、arcsin (cos x ) = x，则x = 。19、在数列 a n 中，若a 1 = 1，a 2 = 2，a n + 2 = a n + a n + 1（nN*），则数列中与1991最接近的那一项的数值是 。20、数列 a n 是首项为a，公差为d的等差数列，按下列加括号的方式分成群：（a 1），（a 2，a 3），（a 4，a 5，a 6，a 7），各群所含的项的数目顺次成公比为2的等比数列，试用a，d，n表示第n群各元素的和 。21、与曲线x 2 y 2 4 m x + 4 n y = 1 + 4 n 2 4 m 2关于点（m，n）对称的曲线的轨迹方程是 。22、由( 1， 1 )向曲线x 2 + 4 y 2 2 x + 16 y + 13 = 0作切线，切线方程是 。23、木球浮在第一种液体中
