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1、微分几何答案解析 (第二章 )第二章 曲面论1 曲面的概念1 .求正螺面 r = u v cos ,u v sin , bv 的坐标曲线.解 u-曲线为 r =u 0cos v ,u Osin v ,bv 0 =0,0, bv 0 u 0cos v ,0sin v ,0 ，为曲线的直母线； v- 曲线为 r =0u v cos ,0u v sin ,bv 为圆柱螺线2 .证明双曲抛物面 r = (u+v ) , b (u-v ) ,2uv 的坐标曲线就是它的直母线。 证 u- 曲线为 r =( u+0v ) , b(u-0v ) ,2u 0v = 0v , b 0v ,0+ u,b,20v 表
2、示过点 0v , b 0V ,0以,b,20V 为方向向量的直线；v-曲线为 r = (0u +v ) , b (0u -v ) ,20u v = 0u , b 0u ,0 +v,-b,20u 表示过点(0u , b 0u ,0) 以，-b,20u 为方 向向量的直线。3 求球面 r =sin ,sin cos ,sin cos ? 上任意点的切平面和法线方程。 解 ?r =cos ,sin sin ,cos sin ?- ， ?r=0,cos cos ,sin cos ?-任意点的切平面方程为 00 cos cos sin cos cos sin sin cos sin sin sin co
3、s cos cos? z y x即 xcos ?cos ? + ycos ?sin ? + zsin ? -= 0 ； 法线方程为?sin sin sin cos sin cos cos cos cos cos z y x-=-=-。4 求椭圆柱面22221x y b+= 在任意点的切平面方程，并证明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面。解 椭圆柱面 22221x y b += 的参数方程为 x = cos ?, y = sin ?, z = t ,0,cos ,sin ? 0br -= , 1,0,0=t r。所以切平面方程为：010cos sin sin cos =?b tz b y x
4、， 即 x bcos ? + y sin ? b = 0 此方程与 t 无关，对于?的每一确定的值，确定唯一一个切平面，而?的每一数值对应一条直母线， 说明沿每一条直母线， 此曲面只有一个切平 面。5 证明曲面,3uv v u r = 的切平面和三个坐标平面所构成的四面体的 体积是常数。证 ,0,123v u r u -=， ,1,023uvr v -= 。切平面方程为： 33=+z uvv y u x 。与三坐标轴的交点分别为 (3u,0,0),(0,3v,0),(0,0,uv23) 。于是，四面体的体积为：3329|3|3|361 uv v u V = 是常数。 2曲面的第一基本形式1 .
5、求双曲抛物面 r =(u+v ), b(u-v ) ,2uv的第一基本形式 .解 ,4,2,2,2222vb r E ubr vb r uv u+=-=22 22224,4u b r G uv b r r F v v u +=+-=?=，I = +2222)4(du v b 2222222的第一基本形式， 12=u，坐标曲线互相)4()4(dv u b dudv uv b +- 。3 . 求正螺面 r = u v cos ,u v sin , bv 并证明坐标曲线互相垂直。 解,cos ,sin ,0,sin ,cos b v u v u r v v r v u - r E， 0=?=v u
6、r r F ，222b u r G v +=,I =2222)(dv b u du +,F =垂直。4 .在第一基本形式为I =22sinh udv du + 的曲面上，求方程为 u = v 的曲线的弧长。解 由条件 =2ds 222sinh udv du +, 沿曲线 u = v 有 du=dv ，将其代入2ds 得=2ds 222sinh udv du +=22cosh vdv， ds = coshvdv ,在曲线 u = v 上，从 1v 到 2v 的弧长为 |sinh sinh |cosh |1221v v vdv v v -=?。5 设曲面的第一基本形式为 I = 2222)(dv
7、u du + ,求它上面两条曲线u + v = 0 ,u-v = 0的交角。分析 由于曲面上曲线的交角是曲线的内蕴量，即等距不变量， 而求等距不变量只须知道曲面的第一基本形式， 不需知道曲线的方程。解 由曲面的第一基本形式知曲面的第一类基本量1=E ，0=v F ， 22 u G += ，曲线 u+ v = 0 与u - v = 0的交点为u = 0, v = 0,交点处的第一类基本量为 1=E ，0=v F ， 2 G = 。曲线 u + v = 0 的方向为 du = -dv , uv = 0的方向为6u= 8V ,设两曲线的夹角为 ? 则有cos ?=22 222211 vG u E G
8、dv Edu u Gdv u Edu +-=+8 8 8 S 5 .求曲面 z = xy 上坐标曲线x = x 0 ,y =0y 的交角 .解 曲面的向量表示为 r =x,y,xy, 坐标曲线 x = x 0 的向量表示为 r = x 0,y,x 0y ，其切向量y r =0 ， 1 ， x 0 ；坐标曲线 y =0y 的向量表示为 r =x , 0y ,x 0y ，其切向量x r=1 ， 0 ， 0y ，设两曲线x = x与 y =0y 的夹角为?，则有cos ? =20 220XX0211|y x y x r r r r y x y x +=? 6. 求 u- 曲线和 v- 曲线的正交轨线
9、的方程.解 对于u-曲线dv = 0,设其正交轨线的方向为8 u: 8V，则有Edu 8u + F(du 6V + dv 8u)+ G d v 8v = 0,将 dv =0 代 入并消去du得u-曲线的正交轨线的微分方程为 E 8u + F 8v = 0 .同理可得v-曲线的正交轨线的微分方程为F 8u + G 8V =0 .7. 在曲面上一点 ,含 du ,dv 的二次方程P 2du + 2Q dudv + R 2dv = 0 ,确定两个切方向( du : dv )和(6 u : 6v ),证明这两个方向垂直的充要条件是ER-2FQ + GP=0.证明因为du,dv不同时为零，假定 dv牛0
10、 ，则所给二次方程可写成为P 2)(dvdu + 2Qdv du + R=0 ,设其二根 dv du ,v u 8 贝U dv du v u 8 8=P R ， dv du +v u8 /PQ 2-又根据二方向垂直的条件知E dv du v u 8 8 +F(dv du +v8)+ G = 0将代入则得 ER - 2FQ + GP = 0 .8. 证明曲面的坐标曲线的二等分角线的微分方程为du =G 2 dv .证用分别用6、*6、d表示沿u 曲线，v 曲线及其二等分角线的微分 符号，即沿u 曲线6u KO, 6v =0,沿v 曲线*8u = 0 , *8v大0 .沿二等分角轨线方向为 du:
11、dv ,根据题设条件,又交角公式得2 22222)()(dsv G v Gdv v Fdu ds u E u Fdv v Edu *+=+8 8 8 8 8 8,即 G Gdv Fdu E Fdv Edu 22)()(+=+ 。展开并化简得E(EG-2F )2du =G(EG-2F )2dv , 而 EG-2F 0 ， 消去 EG-2F 得坐标曲线的二等分角线的微分方程为 E 2du =G 2 dv .9 设曲面的第一基本形式为I =2222)(dv u du + ，求曲面上三条曲线u =v, v=1 相交所成的三角形的面积。解 三曲线在平面上的图形(如图)所示。曲线围城的三角形的面积是S=?
12、+-122122u u dv du u dv du u=2?+1022udv du u =2du u u?+-022)1(u u u u u0222222322|)ln()(32+- =)21ln(3222+- 。 10 求球面 r =sin ,sin cos ,sin cos ? 的 面积。解 ?r =cos ,sin sin ,cos sin ?- ， ?r=0,cos cos ,sin cos ?-E =2?r =2 ,F=?r ?r= 0 , G = 2?r =?22cos. 球面的面积为：S =22222222024224|sin 2cos 2cos d d d 兀？兀？兀？兀 兀兀
13、兀兀兀=-?.11. 证 明 螺 面 r =ucosv,usinv,u+v 和 旋 转 曲 面 r =tcos ?,tsin ?,12-t (t1, 0 0 ,G 0 ,所以 LN 0 , b+cos ? 0, 所以 LN -2M 的符号与cos ?的符号一致，当0W?0，曲面上的点为椭圆点，即圆环面外侧的点为椭圆点；当-2兀?23兀，曲面上的点为双曲点 , 即圆环面内侧的点为双曲点；当？=2兀或23兀时， LN -2M =0 ，为抛物点，即圆环面上、下两纬圆上的点为抛物点。25 若曲面的第一基本形式表示为 )(,(222dv du v u I +=入的形式，则称这个曲面的坐标曲线为等温XX。
14、 试证： 旋转曲面 )(,sin )(,cos )(t f t g t gr ?=上存在等温XX 。证 旋转曲面 )(,sin )(,cos )(t f t g t g r ?=的第一基本形式为)(222222?d dt g fg t g I += ，做参数变换dt gf g u ?+=2 2 ， v=?, 则在新参数下，）,）（222dv du u t g I += 为等温 XX。26 两个曲面1S 、 2S 交于一条曲线（ C ） ，而且（C ）是 1S 的一条曲率线，则（ C ）也是2S 的一条曲率线的充要条件为 1S 、 2S 沿着（ C ）相交 成固定角。证 两个曲面 1S 、 2S 交于曲线（ C ） ， 1n 、 2n分别为 1S 、 2S 的法向量，则沿交线（ C ） ，1n与2n成固定角的充要条件为 1n 2n
