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1、双曲线知识点一：双曲线的定义：在平面内，到两个定点吗、芯的距离之差的绝对值等于常数加（左大于0且）的动点尸的轨迹叫作双曲线这两个定点吗、芯叫双曲线的焦点, 两焦点的距离叫作双曲线的焦距.注意：1. 双曲线的定义中，常数加应当满足的约束条件：|F】H踏卜加申耳 这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解；2. 若去掉定义中的“绝对值”，常数住满足约束条件：I岀卜骂卜加V闻码（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点骂的一支；若冯卜F厠二加v岡凸|（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点吗的一支；3. 若常数住满足约束条件：I引一戸列卜2总二梓邑则动点轨迹是以f、f为12 端点的两条射线（
2、包括端点）；4. 若常数盘满足约束条件：，则动点轨迹不存在；5. 若常数，则动点轨迹为线段FF的垂直平分线。1 22 2 2 2工一乩=1 丄-二=1知识点二：双曲线与的简单几何性质标准方程X护-1 （心0上 0）、njFi/图形对、乙桝卜益0X%性质焦点20,咲Q）巩e-o,収oq焦距|片瑪|= 2c仗二十护）罔再|= 2c （c二十护）范围9打兰-口氧土町応R9_对称性关于x轴、y轴和原点对称顶点 0中轴长实轴长二加，虚轴长=肚离心率s = (eY) a 渐近线方 程尸士Ay= j： 尸b1.通径:过焦点且垂直于实轴的弦，其长2空a2等轴双曲线：当双曲线的实轴长与虚轴长相等即2a=2b时，
3、我们称这样的双 曲线为等轴双曲线。其离心率旋,两条渐近线互相垂直为$ = 土x,等轴双曲 线可设为1宀兄(0)_2 2 .2 23与双曲线才寻有公共渐近线的双曲线方程可设为了弓 m小沁，焦点在疋轴上，九，焦点在y轴上)g4焦点三角形的面积鶴門二b2COtI，其中严5. 双曲线的焦点到渐近线的距离为b.6. 在不能确定焦点位置的情况下可设双曲线方程为:mx2 + ny2二1(mn c0，a2C2=b2 (b0)OVaVc，C2一a2=b2 (b0)r “F几12 2 2 _ 1 a b，J典型例题1已知双曲线C a b2（a0;50）的离心率为：，则的渐近线方程为（ ）b试题分析：由题意可知，因
4、为渐近线方程2 2 了十兀_1 + 72 - 1 a h2 2y工_i2 2 2 a -(ab0)（a0，b0，a不定大于b）V X所以渐近线的方程为2、已知分别是双曲线的左右焦点，过做垂直于轴的直线交/V4 R E双曲线于两点，若.为钝角三角形，则双曲线的离心率的范围是(1试题分析：由题意亠二刁为钝角三角形，则所以防：只已又厂匚二-匚，所以h： ： = l，所以L且* ：=，所以2-近考点：双曲线离心率5ACD3、已知双曲线:(a0,b0)的一条渐近线竺“它的离心率如E 也丄2所以得到试题分析：由已知得，又在双曲线中有X 5 c2 9f 3二一=-二_ =电二- ! ! - ；故选 A4、若
5、双曲线的两准线间的距离是焦距的，则双曲线的离心率为.试题分析：双曲线的两准线的距离为：，两焦点间的距离为：因根据题意可由:匚E 化简为:对=加解得3，所以答案为:165、双曲线的离心率试题分析：双曲线-即6、如图，园虱双曲线一的左、右焦点，过，的直线与双曲线的左右两支分别交于点二、=.若为等边三角形，则双曲线的离心率为()试题分析：因为丄圧为等边三角形，不妨设-兰二二吁=,为双曲线上一点， h = h .h = r,为双曲线上一点，则右-肘=，ZS3由虽=-，贝则-只疋=-：,-，在丄二耳二中应用余弦定理得： 4/=斗沪+疋一2_2应-斗小小120（，得 = 1，则宀7 =小的一条渐近线与抛物
6、线只有一个公共点，则双曲线的离心率为）4-4=1 宀 .1试题分析：；，的一条渐近线方程与抛物线只有一个公共点,QV v* =S8、过双曲线的右焦点F的一条弦PQ, |PQ|=7, F是左焦点，那么AFPQ的周长2 1 1为（）试题分析：可化为：；二 ；由双曲线的定义，得“的周长为|F耳| + |Q瓦| +Q|=|F刃-码| +|0耳卜|Q鸟|+伞0卜4口 + 14二14 + $血9、双曲线!的顶点到其渐近线的距离等于. y2=l 试题分析：双曲线!云 1 n 们_ F = 的顶点为*，渐近线方程为!则顶点到其渐近线的距离为+4匚丄4 k的离心率41、双曲线试题分析：由题意知，XY-，又-1，
7、则取的取值范围是（11、双曲线y试题分析：双曲线方程才的实轴长是（）可变形为-，所以：-上二二二；二_12、双曲线:的渐近线方程是（4 Tj +2 工试题分析：由双曲线的渐近线方程的公式可知! 的渐近线方程是13、斜率为-的直线过双曲线才 于的右焦点，且与双曲线的左右两支都相交，则双曲线的离心率总的取值范围是 ()2 2- cX- = l(0:i0)试题分析：如图，要使斜率为的直线过双曲线的右焦点，且与双曲线的左右两支都相交，必须且只需 即可，从而有b2 4zT O亡：一戊 4zr O二 5rb所以有离心率e,故选D.1 /!I_ 旷=ii14、过原点的直线与双曲线.有两个交点，则直线的斜率的
8、取值范围为()试题分析：双曲线的焦点在y轴上，通过双曲线的图象与性质可知当直线与双曲线有两交点 时直线的斜率k1或k0）hO7一：的焦距为，焦点到双曲线-的渐近线的距离为，r则双曲线-的离心率为（）S = - b = -j试题分析：双曲线焦点到渐近线的距离为，即 ，又代入得17、如果方程表示双曲线，那么实数的取值范围是（试题分析：由双曲线方程的标准形式可知:解得：或皿心也的左、右焦点分别为 a是匸上的点,18、设双曲线试题分析：由题意设巧世i，则陀卜g|p坯卜辰,，则-的离心率为|Py|-|P| = (V3-l) c = 2af分别C. 2 或 18A. 2B. 18D. 16试题分析：整理准线方程得=2或18,故选C.20、设为双曲线的两个焦点，点.在双曲线上且面积是试题分析：由题意可得a=1, b=2, c=J，得F2 (0,躬）,Fi （0,-f V319、设p是双曲线二一= :上一点，该双曲线的一条渐近线方程是.|., r r等于(lklO |码 |是双曲线的左、右焦点，若，则又 FF22= 20, |PF-PF2|=4,-：由勾股定理可得：FiF22=PFi2+PF22= （PF】） 2+2PFi PF2=16+2PFi .PF?,.PF】 PF2=2，所以 故选 B.
