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1、第3章 计算机控制系统分析学习重点说明1本章学习要求与重点本章重点介绍计算机控制系统的分析方法。依据自动控制原理，对一个动态系统特性的分析方法包括系统的稳定性、动态特性和稳态精度等方面的分析，其中动态特性分析又包括时间响应、频率特性和系统零极点分析，而稳态精度分析一般使用稳态误差分析方法。对于一个计算机控制系统，其稳态特性与动态特性分析是衡量和评估计算机控制系统性能的有效工具，所有上述分析方法都将转换为离散控制系统分析方法加以应用。因此，学习、理解和应用这些分析方法，是掌握对计算机控制系统分析技术的重要内容。学习本章应注意掌握下述重点内容。1）复数域分析复数域分析重点掌握s平面与z平面的映射关
2、系，这种映射关系分析方法在很多复数域描述的系统分析中是很重要有效的一方法，如直角坐标与极坐标分析、第四章的各种离散化方法、第五章的w域分析等方法中均得到了应用，因此掌握这种分析方法对于后面的学习和在未来工作学习中的进一步应用研究都是很有益处的。复数域分析的基本概念是依据z变换公式。点的映射、各种线的映射和角度的映射等，应通过详细阅读相关内容、自行完成书中公式推导。其中：（1）一个特殊点是s平面的简单直线或圆，映射到z平面后几乎都是曲线或更为复杂的曲线，这是由于z变换公式较为复杂造成的。（2）另一个特殊点如教材图3-3图3-6所示，s平面的主带与旁带的映射，即z变换将s左平面以带的形式重复地映射
3、到z平面单位圆内，这是由于z变换的多值性，写成幅值和相角的形式后，s平面上具有相差2p相角的点映射到z平面的一点上了。 (3)要清楚地了解s平面上特殊的等阻尼线、等频率线及等衰减率线在z平面上映射的曲线形状。2）稳定性分析(1)要牢记离散系统稳定性的判据, 离散系统是否稳定决定于它的极点是否在z平面单位圆内。这可以从第二章差分方程解的收敛性得到证明，只有极点在z平面单位圆内，即离散系统的极点模值小于1，差分方程的解才会收敛，可以说，不论离散系统是从连续系统变换过来的（如z变换）还是纯离散系统（只能用差分方程或离散传递函数描述），其稳定性唯一反映为特征值位于单位圆内。(2) 另外一点是要掌握离散
4、系统的代数判据,即通过特征多项式的系数判断系统的稳定性。与连续系统不同, 离散系统的代数判据是利用特征多项式的系数判断特征根是否位于单位圆内.最常用的是朱利判据。在使用代数判据时应分两步进行,首先应利用必要条件判断稳定性,如果不满足必要条件,则没有必要利用朱利判据进行判断。要记住稳定性必要条件是 在满足必要条件后需进一步构造朱利表进行稳定性判断。为了后续的学习,要牢记二阶系统的稳定性充要条件: 当前由于MATLAB软件的流行，其控制工具箱可以很方便地求解离散系统特征值，因此可以直接通过求解特征根判定系统稳定性。但这样做不易判断系统参数对稳定性的影响。(3) 要清楚地了解,由连续系统变换得到的离
5、散系统的稳定性，比原连续系统的稳定性要差，如果采样周期T过大，甚至会变得不稳定，因此，对于这种系统要研究变换后的稳定性及参数的稳定范围，其中采样周期T是一个重要的因素。 3）稳态误差分析(1) 要了解离散系统稳态误差定义及其计算方法与连续系统相同. 要记住离散系统稳态误差的基本计算方法是利用z变换中终值定理。 (2) 与连续系统类似, 离散系统稳态误差主要是依据系统前向通道中的积分环节的个数，将系统分为0型、I型、II型，与连续系统的结论也相同。要记住系统稳态误差系数的定义及求取方法。(3) 系统的稳态误差与输入信号的形式有关，对于一个带有指令输入和干扰输入的系统，由于该系统是线性系统，其稳态
6、误差分析可以针对指令输入和干扰输入分别进行，再将结果相加得出系统总的稳态误差。也可以对系统专门作干扰误差分析，即设指令输入为零就行了。(4) 最后，采样周期是否会影响系统的稳态误差？要记住对于具有零阶保持器的系统来说,系统稳态误差与采样周期无关。(5) 要记住在求取稳态误差时必须要保证系统是稳定的,如尚不知系统是否稳定时,就必须先判定系统是否稳定,如若系统不稳定就无必要研究系统的稳态误差。此外,要记住稳态误差为无穷大,并不表明系统不稳定,仅表明系统不能跟踪输入信号。(6) 要了解本节所讨论的稳态误差是系统的原理误差。实际工程系统中还存在许多由系统部件所引入的工艺误差。4）时间响应分析系统的时间
7、特性分析是通过时间响应分析完成的。与连续系统相同，离散系统的时间响应也反映了系统的稳定性、动态特性和稳态特性，因此是一种很有力的分析工具。（1）极点位置与时间响应了解极点位置与时间响应的关系可以帮助我们简洁、直观地通过系统的极点位置了解系统的特性，这一点对于掌握线性系统的分析技术是很有用处的。离散系统极点位置与时间响应的关系直接来自于z变换，重点参考教材图3-17（a）、（b）。其中，图（a）中的z右半平面的点（正实极点）对应单调过渡过程，其他点和图（b）中的各点都对应振荡过程；依据点在圆内、圆上和圆外又对应为收敛（稳定）、临界振荡（临界稳定）和发散（不稳定）过程。这一点与连续系统不同，连续系
8、统极点在s平面实轴上（实极点）为单调过程，到了离散系统就只有正实轴上的极点对应单调过程了。要记住不同极点位置对时间响应形状、振荡频率及收敛速度的影响,如教材图3-17（c）所示。特别应记住极点位于z平面原点时,它对应的时间响应将是最短的,即一个采样周期即达到稳态。（2）时间响应的计算 离散系统时间响应的计算可以用z反变换或长除法（传递函数描述）、解差分方程法（差分方程描述）；也可以利用MATLAB命令求解或构建Simulink方块图完成仿真运算求解。5）频率响应分析频率特性从另一个角度描述了系统的特性，与连续系统类似,利用系统频率特性特别是开环频率特性可以分析和评价系统的相关特性。重点应注意掌
9、握:(1) 要求掌握利用开环频率特性判定闭环系统稳定性的奈奎斯特判别方法;(2) 特别应掌握相对稳定性的检验方法,即利用相位裕度及幅值裕度判断系统的相对稳定性。(3) 与连续系统类似, 开环频率特性形状及三频段概念均可用于离散系统动静特性分析。2 重点与难点问题说明 1) 注意s平面向z平面的映射是唯一的映射,反过来,z平面上的点向s平面上映射不是唯一的,而是呈现多值周期特性。实际上应注意 由于 ,所以, ;而,所以,显然,当z平面一个点确定后,及一定,则s平面则为无穷多个实部相同虚部呈周期变化的点。 2) 通常系统是高阶系统,非主导极及零点对系统响应亦有影响,但与时间响应的性能指标影响比较复
10、杂。近似分析表明，如果非主导极点位于单位圆的正实轴上及零点位于负实轴上将会减少超调量，但将会增大峰值时间。 3) 在利用朱利判据进行稳定性判定时,如果朱利表中有某行全为零时则无法继续计算下去,此时应将特征方程各项系数预先加一微小偏移量,再重新列朱利表进行计算。 4) 采样周期对系统暂态的影响 采样周期对系统暂态有较大影响。研究表明,如果是欠阻尼状态,在系统欠阻尼正弦振荡的一个周期内应采样810次,在过阻尼系统中,在阶跃响应的上升时间应采样810次。应当指出,只有采样频率足够高,二阶系统阻尼比才是单位阶跃响应最大超调量标志;如果采样频率不够高, 单位阶跃响应最大超调量将比由阻尼比预示的大得多。例
11、如,一个闭环系统的脉冲传递函数为 如取k=2,采样周期分别取为T=0.5s、1s、2s时,可以计算求得闭环极点阻尼比分别为,单位阶跃响应曲线分别如图3-1所示。由图可见,当T=0.5s时,一个振荡周期内采样点数大于6次,系统阶跃响应的超调量与闭环极点阻尼比所预示的超调量一致。如采样周期增大,尽管阻尼比增大,但超调量亦增大。图3-1 k=2,不同采样周期时单位阶跃响应曲线 5) 在用MATLAB求解频率特性时如没有显示出离散系统频率特性的周期变化，那可能是因为选用的指令较为简单，没有给出计算的频带范围，MATLAB软件仅计算了一个周期就自行停止了,只要增大计算的频率范围就可显示出频率特性的周期性
12、。 6) 由于离散系统频率特性的周期性，因此所绘制的频率特性曲线在频率高于的频率范围内仍有可能出现幅值等于1及相位等于的频率点，因此，仍可计算求得相位及幅值裕度，如图3-2所示,但应用时仍采用主带内的结果。 图3-2 频率特性 7）判断离散系统稳定性的另一种方法是通过一种变换方法将系统传递函数变换到一种类似s平面的新平面上,然后利用连续系统稳定性判别方法进行系统稳定性判断。常用的一种变换是w变换。关于w变换将在第5章讨论。 8）在计算机控制系统时间响应分析时，除了利用仿真方法求取采样间隔间的信息外，从数学分析角度来说还可以采用扩展z变换方法进行计算，本教材对此没有讨论，有兴趣的读者可参考有关教材1 。6
