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1、怎样的三角形才能一刀截成两个等腰三角形浙江省余姚市实验学校郑建元(315400)图形的分割与组合是对图形研究的重要内容之一，也是近几年来新教材及中考中频频出现的题型之一图形的分割主要涉及到两种类型：一类是把图形分割成规定形状的图形，另一类是把图形分割成规定面积的图形本文就第一种类型提出：怎样的三角形才能一刀截成两个等腰三角形这一问题作如下探究如图1：D为ABC中BC上一点,问：当ABC满足怎样的条件?ABD与ADC均为A等腰三角形我们不妨倒过来研究：假定ABD与ADC均为等腰三角形不失一般性，我们作如下分类讨论:BD若ADBD，我们再分三种情形讨论：图1(1)若ADBDDC,则有BBAD,CD
2、AC，又QBBADDACCBBACC180o，（2BAD+DAC）=180oCBAC90o故ABC为直角三角形.（注：用定理“三角形一边上的中线是这边的一半的三角形是直角三角形”证明之更简捷）(2)若ADBD,ACDC,则有BBAD,DACADC，BACBADDACBADADCBADBBAD3B故ABC中存在两内角满足3倍关系；(3)若ADBDAC,显然BBAD,CADC,CADCBBAD2B故ABC中存在两内角满足2倍关系；2若ABAD,我们再分两种情形讨论：(1)若ADDC，类同1(3)可证，故ABC中两内角仍满足2倍关系；()若ADAC，显然ADB，CADC，BAC+B+=ADB+ADC
3、=180，这与定理“三角形内角和等于180”矛盾，因此ADAC不成立；()若ACDC，显然ADB，DACADC，BAC+B+DA=ADB+ADC=180，这与定理“三角形内角和等于180”矛盾，因此ACDC不成立若ABBD,我们再分三种情形讨论：(1)若ADDC，类同1(2)，可证BAC=3C，故ABC中存在两内角满足3倍关系；()若ADAC类同2(3)，可证B+BAC+BA+AD+=BDA+ADC=180，这与定理“三角形内角和等于180”矛盾，因此ADAC不成立；()若ACDC,AB+AC=BD+DC=BC，这与定理“三角形任何两边之和大于第三边”矛盾，因此ACDC不成立综上：如果一个三角
4、形能被一刀截成两个等腰三角形，则此三角形必定至少满足下列条件中的一个：（1）直角三角形；（2）其中两内角有3倍关系；（3）其中两内角有2倍关系那么反过来成立吗？即满足上述三个条件中的一个，此三角形一定能一刀截成两个等腰三角形吗？显然，满足条件（1）时，成立如图2，在RTABC中，BAC=RT，设B=，C=，在BC上取一点D，使BAD=，易证DAC=，从而DA=DB，DA=DC，即ABD与ADC均为等腰三角形ABDC图2其次，满足条件（2）时亦成立如图3，在ABC中，BAC=3B，设B=，则BAC=3，在BC上取一点D，使BAD=，易证DAC=ADC=2，从而DA=DB，AC=DC，即ABD与A
5、DC均为等腰三角形AA2B2CBDCD图3图4若满足条件（3），则不一定成立如图4，在ABC中，C=2B，设B=，则C=2再分三种情况讨论：BAC；在BC上取一点D，使BAD=，易证ADC=C=2，从而DA=DB，AD=AC，即ABD与ADC均为等腰三角形，但此时2必小于90QBCBAC180o，2BAC180o又BAC，2180o45o290oBAC=；B+BAC+C=180， 4=180 2=90此时ABC为直角三角形，从锐角顶点A出发不能把ABC分成二个等腰三角形，但从直角顶点出发C，仍能把ABC分成二个等腰三角形BAC；B+BAC+C=180，+2180 4180， 290，C=290
6、此时ABC为钝角三角形,从最小角顶点A出发不能把ABC截成二个等腰三角形，但当B=3BAC，或B=2BAC，或C=3BAC时分别从顶点B、顶点C、顶点C出发仍能把ABC分成二个等腰三角形由此可见，当三角形有两内角满足2倍关系时，此三角形不一定能一刀分割成两个等腰三角形，但当两锐角有2倍关系时，从第三角的顶点出发引“割线”能一刀分割成两个等腰三角形综上研究，有如下定理：当且仅当满足下列条件之一时，一个三角形必定能被一刀截成两个等腰三角形：（1）直角三角形（从直角顶点出发引“割线”）；（2）两内角有3倍关系（从有3倍关系的两内角中较大一角的顶点出发引“割线”）；（3）两锐角有2倍关系（从有2倍关系
7、的两内角之外的第三角的顶点出发引“割线”）对于这个定理的应用，因篇幅所限，仅举二例1已知一等腰三角形能被一刀分割成两个等腰三角形，求原等腰三角形顶角的度数应用本文定理，可知原等腰三角形三内角必定至少满足下列几种情况：(,90o)，(,2),(,3)(,3,3)，(,2,2)，中的一种。o根据三角形内角和等于36o、108o或180四种情况180，从而得顶角的度数为90o、72如何把一个正三角形分割成四个等腰三角形？60606060606030303030306060603060图5图630304020204030308040606060408060图8图7思考之一：先分出一个等腰三角形，再把剩下的梯形分成三个等腰三角形；思考之二：先分成两个三角形，再分别分成两个等腰三角形（1）先分成两个直角三角形，再分别分成两个等腰三角形（如图（2）先分成两个非直角三角形，使每个三角形的三个内角中含有满足7）（如图5、图6）2倍关系的两个锐角或满足3倍关系的两角，再分别分成两个等腰三角形（如图8）
