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1、二、诺顿定理含源线性二端网络，对外电路来说，可以用一个电流 源和电导的并联组合来等效置换，电流源的电流等于该二端 网络的短路电流，电导等于把该二端网络的全部独立源置零 后的输入电导。ab其中:SCGeqR前已证明戴维南定理的正确。戴维南等效电路是一个电 压源模型，当将电压源模型转换为电流源模型时，即得诺顿 等效电路。应用诺顿定理的注意事项与应用戴维南定理时的相仿。 例1求如图所示二端网络的诺顿等效电路。10 Q解：求短路电流iSC （用叠加原理）：. c 1520520i 2 +x+xSC20 x 1020 +1020 x 1020 +1020 + 20 +20 +10 20 +10（15V电
2、压源单独作用时）（5V电压源单独作用时）=2.5 A求等效电导R = 200eqG =丄=0.05 S eq 20D20 010 Q诺顿等效电路:（注意电流源的方向）戴维南等效电路与诺顿等效电路可以相互转换。但当戴 维南等效电路对应的等效电阻为零时，等效电路成为一个电 压源，这时，对应的诺顿等效电路就不存在；同样，若输入 电导等于0,诺顿等效电路成为一个电流源，这时，对应的 戴维南等效电路就不存在。戴维南定理和诺顿定理统称为等效发电机定理。20 Q20 Q2A当R可变时，问R等于多大时，它才能从电路中吸收最 大的功率？求此最大功率。解：对ab左端的部分电路，我们不关心其内部情况，只 关心其对a
3、b右端部分电路的影响，因此可先应用诺顿定理将 其左端电路转换成诺顿等效电路（或戴维南等效电路），再求解。开路电压UC:（用叠加原理）:C10 QUocu =(20x20x 2 A +15x 20ocI20+ 20丿L20+ 2015V)5V(J20 Q2Ab+ 20x 5 = 50V20 + 20（电流源单独作用时）（15V电压源单独作用）（5V电压源单独作用）等效电阻:bR = 20Qeq原电路等效为：UOtcRe20 QP = RI2 =UocRR(R + R)2eqdP dRU 2 ocdR dR (R + R)2I- eq解得(叮 R)2 - 2R(叮 R) U2 令0oceq(R +
4、 R)4eq在R + R h0时，上式成立的条件为eq(R + R)2 - 2R(R + R) = 0eqeqR = R = 20Qeq它能从电路中吸收最大的功率。即当R = R时,eqU 2 RU 2最大功率为:P = oc eq =込=31.25WR maxeq eqeq实际上，上例证明了一个电路分析中的重要定理:最大功率传输定理：设参数为固定的实际信号源，与一电阻 负载相接，当负载电阻等于信号源内阻时，则负载能从信号U 2源中吸收最大的功率。最大功率为PLmax _4rF。S满足上述条件的电路叫做负载与信号源相匹配，或叫做 电路在匹配条件下工作。此时的传输效率P （负载吸收的功率） 耳
5、= L=50%P （电源产生的功率）S电路中，求电流i对电阻R的灵敏度/+ u = u u , u = u , u = u4 n3 n1 5 n 2 6 n 3对节点1、2、3列KCL方程：i + i i = 0124一 i + i + i = 0 2 35一 i + i + i = 03 46丿y6将（1）代入ukk并整理，得Y6Y u i = uk kn1k=1k =124n 2235(i + i i ) + u (i + i + i ) + u (i + i + i )i=0 （将（2）代入后）同理可证明k=1评述：特勒根定理1实际上就是功率平衡定理。它表明，在任一瞬间，任一电路中所有支
6、路所吸收的瞬时功率的代数和 为零。或者说，任何一电路在工作时一定是有的支路吸收功 率，另一些支路发出功率（即吸收的功率为负值）。最常见 的情形是电源发出功率，它与负载吸收的功率相等，满足功 率平衡定理。特勒根定理2如果有两个具有n个节点和b条支路的电路，它们由不 同的二端元件所组成，但它们的图完全相同。假设各支路电 流和电压取关联参考方向，并分别用（、i2,L）,12b（u ,u ,u ）和L，ij，（u ,u ,U ）来表示两者的b条 12b12b12b支路的电流和电压，则对任何时间t,有bY U i = 0k kk=1 u i = 0k kk=1证明：设两个电路的图相同如上页,44对电路1
7、,用KVL写出(1)式，对电路2,应用KCL，有八八八、i +ii=0124八八八i+i+i=02 35八八八i+i+i=03 46丿(3)由(2)得6八八/X/X/X/X工 u i = u (i + i -k kn112-i ) + u(i +4n 22i + i )35k=1/ / /+ u (i + i + i )n3346=0(将(3)代入后)同理可证明* u i = 0k kk=1该证明可推广到任何具有n个节点、b条支路的两个图相同的电路。 评述：定理2不能用功率守恒来解释。它仅仅是对两个具有 相同拓扑的电路，一个电路的支路电压和另一个电路的支路 电流；或者可以是同一电路在不同时刻的
8、相应支路电压和电 流，所必须遵循的数学关系。不过它仍具有功率之和的形式, 所以有时又称为“拟功率定理。”上述两定理，适用于一切线性、非线性、定常、时变含源、 无源网络。特勒根定理的应用： 功率守恒的证明 互易定理的证明4-5互易定理互易定理是体现线性网络重要性质的另一个定理。一、陈述一给定任一仅由线性电阻构成的网络（不含独立电源和受 控源），设置于支路j中的电压源u.在支路k中产生的电流j为ik，置于支路k中的电压源U k在支路j中产生的电流为 kskJ，则i ik - j厂u （注意参考方向）sjsk+-Ok=i.。即：在线性电阻网络 j如上式中使sj =Usk 则I中，在支路j中接一电压电
9、源，它在支路k中产生的电流等 于在支路k中接一电压与之相等的电压源在支路j中产生的 电流。证明：(用特勒根定理)，设图(a) (b)中的电流、电压八八分别记为i, u和i, U由特勒根定理u i + u isj j k k(1)+ 艺 u i 0a aa 1U i + U ij j sk k+ 艺 U i 0a aa1aH j, k(2)aH j, kuaUa由于方框内部的(b-2)条支路均为相同的线性电阻，所RiaRi , a 1,2, , b; a H j, kOL代入(1)、(2)得bu i + u i + y Ri i = 0sj j k ka a(3)a=lj, kb 个u i +
10、u i + y Ri i = 0j j sk ka a（4）a=1j,k（3） （4）,且U = 0 , u = 0，得kJu i = U isj jsk ki, i= k.u usksj特别地，当u = uk时，I =i.。/skk j二、陈述二假设在任一线性电阻网络的一对节点j, /间接入一电 流为i.的电流源，它在别一对节点k, k间产生的开路电压 j为uk，（图（a）；在节点k, k，间接入一电流为sk的电流源,它在节点j, j间产生的开路电压为uj （图（b）。贝IJ八uuk = jiisj sk若在两种情况下所接入的电流源电流相等，即isj = k，则u = Uk j三、陈述三f假
11、设在任一线性电阻网络的一对节点j,丿间接入一电 流源i .，它在另一对节点k, k,间产生的短路电流为i（图a）； sjk在节点k, k间接入一电压源usk，它在节点j, j间产生的 开路电压为u厂（图b）贝IJ八uIL =丄uIsksj.J 弓-ork若在数值上有Usk = isj，则在数量上有八u = ij k例1互易网络如图所示，Us1试求电流。=1V，L = 2 A，J =-2V，2解：2si 1s 21O-012uu s 2 iU 2si例2如图已知：Ri =10，RR = 5V，试求iS 5R = 60,6X6解：该题用互易定理解更方便。R6R41R3R2R11R6-AO+tLuS5R41R3由互易定理=0.625A厂 1 x 42 x 386 + + + 42 + 36 = i5
