微分几何复习(学生用).doc

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1、 微分几何复习题 一、填空题1. 向量具有固定方向，则= 。2. 非零向量满足的充要条件是 。3. 若向量函数满足，则具有固定 。4. 曲线的正常点是指满足 的点.5. 曲线在任意点的切向量为 。6. 曲线在点的切向量为 。7. 曲线在点的切向量为 。 8. 设曲线在P点的切向量为，主法向量为，则过P由确定的平面是曲线在P点的 。9. 若是曲线的正则点，则曲线在的密切平面方程是 。10. 曲线在点的单位切向量是，则曲线在点的法平面方程是 。11. 一曲线的副法向量是常向量，则这曲线的挠率 。 12. 曲线在t = 1点处有，则曲线在 t = 1对应的点处其挠率= 。13. 曲线x=cost，y

2、=sint, z=t在t=0处的切线方程是 。14. 曲线的主法向量的正向总是指向 。15. 空间曲线为一般螺线的充要条件是它的副法向量 。16. 曲线的曲率是 。17. 曲线的挠率是 。18. 一般螺线的曲率和挠率的关系是 。19. 曲率为0的曲线是 , 挠率为0的曲线是 。20. 设有曲线，当时的切线方程为 。21. 设有曲线，当时的切线方程为 。22. 曲线在点的单位切向量是，则曲线在点的向量式法平面方程是 。23. 曲线在点的主法向量是，则曲线在P点的从切平面方程是 。24. 设曲线，其中s为曲线的自然参数，则 。25. 半径为1的圆的挠率= 。26. 曲线在P点的挠率0 时，表明曲线

3、由下往上经过P点时成右旋曲线.27. 向量函数=(t)对任意t有(t)(t)的充要条件是 。28. 已知曲线=(t)在P点的单位切向量为=(0,1,0)，单位主法向量=(0,0,1)，则曲线在P点的单位副法向量= 。29. 曲面上曲线的弧长，交角，曲面域的面积等都是的 的不变量。31. 若点(u0, v0)为曲面的正则点，则在(u0, v0)满足 。32. 曲面在点的法线方程是 。33. 如果曲线族和曲线族处处不相切，则称相应的坐标网为 。34. 已知曲面的第一类基本量为E、F、G，则两方向du:dv与垂直的充要条件是 。35. 对曲面有,则曲面上曲线u=u(t),v=v(t)从到t (t )

4、的弧长s = 。36. 若曲面在(0，1)点处的第二基本形式，则在(0，1)点处， 。其中为曲面的单位法向量。37. 已知曲面的第二类基本量L、M、N，则曲面上渐近曲线的微分方程是 。38. 挠率 的曲线其副法向量是常向量。 39. 曲面上的曲纹坐标网是渐近网的充要条件是40. 曲面上一曲线，如果它每一点的切方向都是主方向，则称该曲线为 。41. 半径为R的球面的高斯曲率K= 。42在曲面上圆点，其第一、第二类基本量满足关系 。43曲面上的曲纹坐标网为共轭网的充要条件是 。44曲面上的曲纹坐标网为正交网的充要条件是 。45极小曲面是指 的曲面。46曲面上一点的主曲率是曲面在这点所有方向的 的最

5、大值和最小值.47两个曲面之间的变换是保角变换的充要条件是 。48设曲面在点P处有两个同号的主曲率，则按高斯曲率的符号分类，此点是曲面的 。49法曲率的最大值和最小值正好是曲面的 曲率, 使法曲率达到最大值和最小值的方向是曲面的 方向.50距离单位球面球心距离为d (0d1)的平面与球面的交线的曲率为 ，法曲率为 。51在脐点处曲面的第一、第二类基本量满足 , 把第二类基本量L=M=N=0的脐点称为 。52法曲率的最大值和最小值正好是 , 使法曲率达到最大值和最小值的方向是 方向.53平面的第一基本形式为 。54悬链面的第一类形式是 。55正螺面的第一基本形式是 。56函数是主曲率的充要条件是

6、 。57方向是主方向的充要条件是 。58根据罗德里格定理，如果方向是主方向，则 ，其中是曲面沿方向(d)的法曲率。59若曲面S为平面,则其第二基本形式= 。60曲面上使 的点叫做曲面上的正常点. 61曲面之间的一个变换，如果使两曲面间对应曲线的交角相等，则称这个变换为 。62若曲面在(0, 1)点处的第二基本形式=du2+3dv2, 为曲面的单位法向量，则在(0, 1)点处，= 。二、单项选择题1曲率和挠率均为非零常数的曲线是 ( )A. 直线； B. 圆； C. 圆柱螺线； D. 平面曲线 2曲线的下列各量中, 不是容许参数变换下的不变量的是是 ( )A. 曲率； B. 挠率； C. 弧长；

7、 D. 切向量3过空间曲线上点（非逗留点）的切线和点的邻近点的平面，当沿曲线趋于点时，平面的极限位置是曲线在点的 ( )A. 法平面； B. 密切平面； C. 从切平面； D. 切线面4. 圆柱螺线在点的切线为 ( )A； B. ；C. ； D.。5. 圆柱螺线的切线与轴 ( ). 平行； . 垂直；. 有固定夹角； . 有固定夹角。6. 设有平面曲线，为自然参数，是曲线的基本向量下列叙述错误的是 ( ) . 为单位向量； . ；. ； . 。7. 直线的曲率k为 ( ). ；. ； .；.。8. 关于平面曲线的曲率,为自然参数, 不正确的是 ( ). ； . ，为的旋转角；. ； . 。9.

8、 设曲线在P(s)点的基本向量是,则下列论述不正确的是( ). 均为单位向量； . ；. ； . 。10. 曲线在点的切线与轴关系为 ( ). 垂直；. 平行； . 成的角；. 成的角。11. 曲线在P(s)点的基本向量是，曲率k(s)，挠率，则下式 ( )不正确。A. ； B. ； C. ； D. 。12. 平面曲线的密切平面与曲线所在平面 （ ） A. 相交； B. 平行； C. 重合； D. 垂直。13. 下面曲线中是一般螺线的是 （ ） A. 平面曲线； B. 圆柱螺线； C. 直线； D. 球面曲线。14. 曲线在P(t)点的曲率为k , 挠率为，则下列式子( )不正确。A. ； B

9、. ； C. ； D. 。15. 对于向量函数，若，则( )A是定长向量； B. 定长向量；C是定向向量； D. 是定向向量。16. 空间曲线的形状由( )决定A 由曲率和挠率； B. 仅由曲率；C 仅由挠率； D. 由参数的选取.17. 曲率等于零的曲线 ( )A 一定是直线； B. 一定是圆；C 一定是球面上的曲线； D. 一定是平面曲线.18. 圆柱螺线 在任一点的切线与轴的夹角( )A为； B. ； C. 与有关； D. 与有关。19. 曲线在P点的基本向量为；在P点的曲率k(s)，挠率为(s)，则k(s)是 ( )A. ； B. ； C. ； D. 。20. 曲面的参数曲线网为正交曲

10、线网的充要条件是 （ ） A. ； B. ； C. ； D. 。21. 曲面上一点处的两个主方向之间的夹角为 ( )A. ； B. ； C. ；D. 不确定。22. 设曲面的第一、二基本形式分别为 则曲面的两个主曲率分别是 ( )A. ； B. ； C. ； D. 。23. 曲面的坐标网是正交网的充要条件是 ( )A. M = 0； B. L = N = 0； C. M = F = 0；D. F = 0。24. 下面关于曲面上主方向的说法，不正确的一项是 ( ) A. 脐点处，任何方向都是主方向； B. 非脐点处，主方向垂直；C. 脐点处，无主方向； D. 非脐点处，有且仅有两个主方向。25. 在选取曲率线网作为参数曲线网时，曲面的两个主曲率k1, k2为 （ ）A. ； B. ； C. ； D. 。26. 设曲面的第一、二类基本量为和，则曲面的面积为 ( ) A. ； B. ；C. ； D. 27. 在椭圆点处，曲面的第二类基本量满足 ( )A. ； B. ； C. ； D. 。28. 在不含脐点的曲面上，坐标曲线网成为曲率线网的充要条件是（ ）A. M = 0； B. L = N = 0； C. M = F = 0；D. F = 0。29. 反映