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1、专题七平面向量及其运用【考点聚焦】考点1：向量的概念、向量的加法和减法、实数与向量的积.考点2：向量的坐标运算、平面向量的数量积.考点3：解斜三角形.考点4：线段的定比分点、平移公式.考点5：向量的运用.【自我检测】1、 叫做向量；2、 叫做共线向量（平行向量）；3、 叫做相等向量；4、 叫做单位向量.5、 向量加法法则是，.减法法则是.6、 设a（x1,y1），b（x2,y2），Ra b，它满足的运算性质有.a b，它满足的运算性质有.a，它满足的运算性质有.，它满足的运算性质有.cos=_=_.a b；a b.7、 正弦定理的内容是.8、 余弦定理的内容是.9、定比分点坐标公式是（其中）.
2、10、平移公式是 _.【重点难点热点】问题1：向量的有关概念与运算此类题经常出现在选择题与填空题中，在复习中要充分理解平面向量的相关概念，熟练掌握向量的坐标运算、数量积运算，掌握两向量共线、垂直的充要条件.例1：已知a是以点A(3,1)为起点，且与向量b = (3,4)平行的单位向量，则向量a的终点坐标是.思路分析：与a平行的单位向量e= 方法一：设向量a的终点坐标是(x,y),则a =(x-3,y+1)，则题意可知，故填 (,-)或(,-)方法二与向量b = (-3,4)平行的单位向量是(-3,4)，故可得a(-,)，从而向量a的终点坐标是(x,y)= a(3,1),便可得结果.点评：向量的
3、概念较多，且容易混淆，在学习中要分清、理解各概念的实质，注意区分共线向量、平行向量、同向向量、反向向量、单位向量等概念.例2：已知| a |=1,| b |=1，a与b的夹角为60, x =2ab，y=3ba,则x与y的夹角是多少？思路分析：要计算x与y的夹角，需求出|x|,|y|,xy的值.计算时要注意计算的准确性.解：由已知|a|=|b|=1，a与b的夹角为60,得ab=|a|b|cos=.要计算x与y的夹角，需求出|x|，|y|，xy的值.|x|2=x2=(2ab)2=4a24ab+b2=44+1=3，|y|2=y2=(3ba)2=9b26ba+a2=96+1=7.xy=(2ab)(3b
4、a)=6ab2a23b2+ab =7ab2a23b2 =723=，又xy=|x|y|cos，即=cos，cos=，=arccos.即x与y的夹角是arccos点评：本题利用模的性质|a|2=a2，在计算x,y的模时，还可以借助向量加法、减法的几何意义获得：如图所示，设=b, =a, =2a,BAC=60.由向量减法的几何意义，得=2ab.由余弦定理易得|=，即|x|=，同理可得|y|=.问题2：平面向量与函数、不等式的综合运用当平面向量给出的形式中含有未知数时，由向量平行或垂直的充要条件可以得到关于该未知数的关系式.在此基础上，可以设计出有关函数、不等式的综合问题.此类题的解题思路是转化为代数
5、运算，其转化途径主要有两种：利用向量平行或垂直的充要条件，利用向量数量积的公式和性质.例3已知平面向量a(，1)，b(, ).(1) 若存在实数k和t，便得xa(t23)b, ykatb，且xy，试求函数的关系式kf(t)；(2) 根据(1)的结论，确定kf(t)的单调区间.思路分析：欲求函数关系式k=f(t)，只需找到k与t之间的等量关系，k与t之间的等量关系怎么得到？求函数单调区间有哪些方法？（导数法、定义法）导数法是求单调区间的简捷有效的方法？解：（1）法一：由题意知x(,), y(tk，tk)，又xy故x y（tk）(tk)0.整理得：t33t4k0，即kt3t.法二：a(，1)，b(
6、, ), . 2，1且abxy，x y0，即k2t(t23)20，t33t4k0,即kt3t(2) 由(1)知：kf(t) t3t kf(t) t3,令k0得1t1；令k0得t1或t1.故kf(t)的单调递减区间是(1, 1 )，单调递增区间是（，1）和（1，）.点评： 第（1）问中两种解法是解决向量垂直的两种常见的方法：一是先利用向量的坐标运算分别求得两个向量的坐标，再利用向量垂直的充要条件；二是直接利用向量垂直的充要条件，其过程要用到向量的数量积公式及求模公式，达到同样的求解目的（但运算过程大大简化，值得注意）.第（2）问中求函数的极值运用的是求导的方法，这是新旧知识交汇点处的综合运用.演
7、变3： 已知平面向量(，1)，(，)，若存在不为零的实数k和角，使向量(sin3), k(sin),且，试求实数k 的取值范围.点拨与提示：将例题中的t略加改动，旧题新掘，出现了意想不到的效果，很好地考查了向量与三角函数、不等式综合运用能力.演变4：已知向量，若正数k和t使得向量垂直，求k的最小值.点拨与提示：（1）利用向量垂直的充要条件找到k与t之间的等量关系.（2）利用均值不等式求最值.问题3：平面向量与三角函数的综合运用向量与三角函数结合，题目新颖而又精巧，既符合在知识的“交汇处”构题，又加强了对双基的考查.例4设函数f (x)a b，其中向量a(2cosx , 1), b(cosx,s
8、in2x), xR.（1）若f(x)1且x，求x；（2）若函数y2sin2x的图象按向量c(m , n) ()平移后得到函数yf(x)的图象，求实数m、n的值.思路分析：本题主要考查平面向量的概念和计算、平移公式以及三角函数的恒等变换等基本技能，解： (1)依题设，f(x)（2cosx，1）(cosx,sin2x)2cos2xsin2x12sin(2x)由12sin(2x)=1，得sin(2x).x , 2x,2x=, 即x.（2）函数y2sin2x的图象按向量c（m , n）平移后得到函数y2sin2(xm)+n的图象，即函数yf(x)的图象.由(1)得f (x) ， m，n1. 点评： 把
9、函数的图像按向量平移，可以看成是C上任一点按向量平移，由这些点平移后的对应点所组成的图象是C，明确了以上点的平移与整体图象平移间的这种关系，也就找到了此问题的解题途径.一般地，函数yf (x)的图象按向量a(h , k)平移后的函数解析式为ykf（xh）演变5：已知a=（cos，sin）,b=（cos,sin）(0)，（1）求证： a+b与a-b互相垂直；（2）若ka+b与a-kb的模大小相等(kR且k0)，求问题4：平面向量与解析几何的综合运用由于向量既能体现“形”的直观位置特征，又具有“数”的良好运算性质，是数形结合与转换的桥梁和纽带，因此在向量与解析几何交汇处设计试题，已逐渐成为高考命题
10、的一个新的亮点.平面向量与解析几何的结合通常涉及到夹角、平行、垂直、共线、轨迹等问题的处理，解决此类问题基本思路是将几何问题坐标化、符号化、数量化，从而将推理转化为运算；或者考虑向量运算的几何意义，利用其几何意义解决有关问题.例5：椭圆的中心是原点O，它的短轴长为，相应于焦点F（c, 0）(c0)的准线l与x轴相交于点A, 过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点.()求椭圆的方程及离心率；()设，过点P且平行于准线l的直线与椭圆相交于另一点M，证明：解： () 椭圆方程为,离心率 ()证明：设P（x1,y1）,Q (x2,y2),又A（3，0），由已知得方程组：； 注意1，消去x1、y1和y2 得
11、， 因F（2 , 0）, M（x1,y1），故而.所以 .点评：运用向量共线的充要条件来处理解几中有关平行、共线等问题思路清晰,易于操作,比用斜率或定比分点公式研究这类问题要简捷的多.演变6：已知椭圆方程，过B（1，0）的直线l交随圆于C、D两点，交直线x4于E点，B、E分的比分1、2求证：120点拨与提示：利用和，将1和2用C、D两点的坐标表示出来，再相加可得结论.例6设p0是一常数，过点Q(2p,0)的直线与抛物线y22px交于相异两点A、B，以线段AB为直径作圆H（H为圆心），试证明抛物线顶点在圆H的圆周上；并求圆H的面积最小时直线AB的方程.思路分析：要证点O在圆H上，只要证OAOB，
12、可转化为向量运算0，用向量运算的方法证明（见图1）解：由题意，直线AB不能是水平线，故可设直线方程为：kyx2p又设A（xA,yA）,B(xB,yB), 则其坐标满足消去x，得y22pky4p20由此得xAxB4pk (yAyB) (42k2)p ， xAxB4P2因此xAxByAyB0，即OAOB，故O必在圆H的圆周上.又由题意圆心H（xH , yH）是AB的中点，故由前已证，OH应是圆H的半径，且从而当k0时，圆H的半径最小，亦使圆H的面积最小.此时，直线AB的方程为：x2p.点评：运用向量的数量积，可以把有关的长度、角度、垂直等几何关系迅速转化为数量关系，从而“计算”出所要求的结果.演变
13、7：给定抛物线C:y24x，F是C的焦点，过点F的直线l与C相交于A、B两点.设l的斜率为1，求与夹角的大小；例7：设G、H分别为非等边三角形ABC的重心与外心，A(0，2)，B（0，2）且(R).（）求点C(x，y)的轨迹E的方程；（）过点(2，0)作直线L与曲线E交于点M、N两点，设，是否存在这样的直线L，使四边形OMPN是矩形？若存在，求出直线的方程；若不存在，试说明理由.思路分析：（1）通过向量的共线关系得到坐标的等量关系.（2）根据矩形应该具备的充要条件，得到向量垂直关系，结合韦达定理，求得k的值.解：（）由已知得 , 又，CH=HA 即（2）设l方程为y=k(x-2)，代入曲线E得（3k2+1）x2-12k2x+12(k2-1)=0设N (x1，y1)，M (x2，y2)，则x1 +x2=，x1 x2= ，四边形OMPN是平行四边形.若四边形OMPN是矩形，则x1 x2+y1 y2=0 得直线l为：y= 点评：这是一道平面几何、解析几何、向量三者之间巧妙结合的问题.演变8：平面直角坐
