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1、利用数形结合处理数学问题的技巧摘要数形结合在代数解题中有广泛应用，是数学研究的常用方法，它的思想可以把抽象的代数问题具体化，把数量关系与空间图形结合起来，既能分析其代数意义，又能揭示其几何意义。它包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面。下面将通过一些典型例题，探索解题中应用数形结合的技巧和方法。关键词：数形结合 思想方法 技巧 典型例题 正文：数与形是数学中最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化。中学数学研究的对象可分为两大部分，一部分是数，一部分是形，但数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合，或形数结合。我国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事非。”“
2、数”与“形”反映了事物两个方面的属性。我们认为，数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系。数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数辅形”即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的。 作为一种数学思想方法，数形结合的应用大致又可分为两种情形：或者借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系，即数形结合包括两个方面：第一种情形是“以数解形”，而第二种情形是“以形助数”。“以数解形”就是有些图形太过于简单，直接观察却看不出什么规律来，这时就需要给图形赋
3、值，如边长、角度等等。“以形助数”就是把某些复杂的数学问题通过几何图形很直观的看出来，这样就把问题直观具体化。数形结合的思想方法是数学教学内容的主线之一，应用数形结合的思想，可以解决以下问题：一、解决集合问题：在集合运算中常常借助于数轴来处理集合的交、并、补等运算，从而使问题得以简化，使运算快捷明了。二、解决函数问题：借助于图象研究函数的性质是一种常用的方法。函数图象的几何特征与数量特征紧密结合，体现了数形结合的特征与方法。三、解决方程与不等式的问题：处理方程问题时，把方程的根的问题看作两个函数图象的交点问题；处理不等式时，从题目的条件与结论出发，联系相关函数，着重分析其几何意义，从图形上找出
4、解题的思路。四、解决三角函数问题：有关三角函数单调区间的确定或比较三角函数值的大小等问题，一般借助于单位圆或三角函数图象来处理，数形结合思想是处理三角函数问题的重要方法。五、解决线性规划问题：线性规划问题是在约束条件下求目标函数的最值的问题。从图形上找思路恰好就体现了数形结合思想的应用。六、解决数列问题：数列是一种特殊的函数，数列的通项公式以及前n项和公式可以看作关于正整数n的函数。用数形结合的思想研究数列问题是借助函数的图象进行直观分析，从而把数列的有关问题转化为函数的有关问题来解决。七、解决解析几何问题：解析几何的基本思想就是数形结合，在解题中善于将数形结合的数学思想运用于对点、线、曲线的
5、性质及其相互关系的研究中。八、解决立体几何问题：立体几何中用坐标的方法将几何中的点、线、面的性质及其相互关系进行研究，可将抽象的几何问题转化纯粹的代数运算。 数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域、最值问题中，在解方程及方程组中，运用数形结合思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程。这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，要争取心中有图见数想图，以开拓自己的思维视野。然而，如何应用数形结合处理数学问题并非易事，下面我们通过对数形结合典型例题和解题的分析，将利用数形结合处理数学问题的技巧与大家一起进行学习
6、，探讨。数形结合的典型例题与技巧1.函数与图像的对应关系例1 设b0，二次函数的图像为下列之一，则a的值为（ ）A.1 B.1 C. D.解析有形去找数。只有先认识图形，并选定正确的图形，才能进一步选定正确的答案.由于b0，抛物线的对称轴不可能是y轴，排除前两图；后两图都通过原点，故必，若a=1，则抛物线开口向上，且x=0，即对称轴应在y轴左方，排除第四图，因而第三图正确，只能a=-1，选B。例2 若双曲线与曲线有且只有一个公共点，则实数的取值集合中的元素个数为（ ）由于说明表示过点A（2，1）的直线的斜率。（注意：这条直线上应除去横坐标为1的点）本题的含义是：过A且与与双曲线有且只有一个公共
7、点的直线有几条？解析有数去配形。如图1，过A且平行于双曲线渐近线的直线与双曲线有且只有一个公共点，这样的直线有两条.过A作双曲线的切线，如图2，这样的直线也有两条.：由于直线，而直线与双曲线交于B、C两点，所以就本题而言，双曲线上是应当去掉B、C两点的，这样，过A且与双曲线有且只有一个公共点的直线还有AB、AC两条.所以本题正确的答案是A。例3 若三棱锥ABCD的侧面ABC内一动点P到底面BCD的距离与到侧棱AB的距离相等，则动点P的轨迹与ABC组成的图形可能是 （ ） 例3题图例3题解图 解析 借尸还魂。显然，这里只有形的躯壳，而不见数的灵魂，所以解题的方向便是进行数的分析。如图，PH面BC
8、D于H，PQAB于Q，且有PH=PQ.作HMBC于M连PM.由三垂线定理知PMBC，PMH是二面角ABCD的平面角，设为,显然为定值，且PMPH(当且仅当面ABC面BCD时，PM=PH)，PMPQ,即1为常数，故所求轨迹为偏向于棱AB的线段，选D。 例4 设F(x)是F(x)的导函数，y=F(x)的图像如图(1)所示，则y=F(x)的图像最有可能的是(如图（2）) ( ) 例4题图（1）例4题图（2）例4 设F(x)是F(x)的导函数，y=F(x)的图像如图(1)所示，则y=F(x)的图像最有可能的是(如图（2）) ( ) 例4题图（1）例4题图（2）解析先由形找数，再由数配形。由y=f(x)
9、的图像可知：函数f(x)在x=0，2处取得最值，因而其在(0,f(0)，（2，f(2)）处的切线应平行于x轴，排除A、B; 又由f(x)的图象知，当x(0,2)时,f(x)1,f(x)=k(x1)(xR).在平面直角坐标系xOy中，函数y=f(x)的图象与x轴交于A点，它的反函数y=f1(x)的图象与y轴交于B点，并且这两个函数的图象交于P点.已知四边形OAPB的面积是3，则k等于 ( )A.3 B. C. D.例7题解图解析数形结合，借尸还魂。曲线f(x)=k(x1)交x轴于A(1,0),其反函数y=f1(x)必交y轴于B(0,1)。两函数图象的交点必在直线y=x上，由。因而有：,k1,知点
10、P在一象限，且SAOP=SBOP=1，已知S四边形OAPB=2SPOA=,SAOP+SBOP=3。即=3.解得：k=,选B。例8 设函数f(x)= 若f(4)=f(0),f(2)=2,则关于x的方程f(x)=x的解的个数为 ( )A.1 B.2 C.3 D.4例8题解图解析以形代数。即只确定方程f(x)=x的解的个数，也就是曲线y=f(x)与直线y=x交点的个数，画图即可解决问题，用不着浪费时间，通过解方程求解。如图所见，直线y=x与f(x)的图象有三个交点，选C.例9 如图，定圆半径为a,圆心为（b,c）,则直线ax+by+c=0与直线xy+1=0的交点在 ( )例9题图A.第一象限 B第二象限C.第三象限 D.第四象限解析为形配数。根据“图形语言”予以赋值，可使抽象问题具体化。由条件知a=r0,b0,且|b|r=a,|c|ac0，取a=2,b=3，c=1。得：交点(2,1)在三象限，选C。
