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1、总述：求数列通项的方法：累加法、累乘法、待定系数法、阶差法（逐差法）、迭代法、对数变换法、倒数变换法、一、累加法适用于： an 1anf (n)转换成 an 1anf (n) ，其中 f(n) 可以是关于 n 的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项an .若 f(n) 是关于 n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和;若 f(n) 是关于 n 的二次函数，累加后可分组求和;若 f(n) 是关于 n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;若 f(n) 是关于 n 的分式函数，累加后可裂项求和。例 1已知数列an 满足an 1an2n 1 a11，求数列 an 的通项公式。，解：由
2、an1an2n1 得 an 1an2n1则an (anan 1 ) (an 1an 2 )(a3a2 ) (a2a1) a12( n1)1 2( n2)1(221) (21 1)12(n1)(n2)21( n1) 12 (n1)n(n1)12(n1)(n1)1n2例 2已知数列 an 满足 an1an23n1， a13 ，求数列 an 的通项公式。解；由 a1a23n1得 a1a23n1则nnnnan(anan 1) (an 1an 2 )( a3a2 ) (a2a1 ) a1(23n11)(23n21)(2321)(2311) 32(3n13n23231 )(n1)33(13n 1 )(n1
3、)32133n3n133nn1练习 1.已知数列an的首项为1 ， 且an 1an2n n( N *)an的通项公式.写出数列答案： n 2n1anan 112)已 知 数 列 an 满 足 a1(n练习 2.3 ，n( n 1)，求此数列的通项公式.an21答案：裂项求和n1二、累乘法1.适用于：an 1f ( n)an -这是广义的等比数列an 1f (n) ，则a2a3f (2)，an 1f (n)2若a1f (1)，ana2anan1n两边分别相乘得，a1f (k )a1k 1例4 例4. 已知数列an满足 a12， an1nan ，求 an 。3n1解：由条件知 an1n，分别令 n
4、1,2,3, (n 1) ，代入上式得 ( n1) 个等式累乘之，即ann1a2a3a4an1 2 3n 1an1a1a2a3an 12 3 4na1na122又3，an3n三 .公式法： 已知 Sn （即 a1a2anf (n) ）求 an ，用作差法： anS1 ,( n1)。Sn Sn 1,( n 2)例 2 已知数列an的前 n 项和 Sn 满足 Sn2an( 1) n , n1求数列 an 的通项公式。解：由 a1S12a1 1 a11当 n2时，有 anSnSn 12(anan1 )2( 1)n ,an2an 12 ( 1) n 1 ,an12an22( 1) n 2 , ， a2
5、2a12.n 1n 1n 22n 1an 2 a12(1)2( 1)2(1)2n 1(1)n(2)n 1( 2)n 2(2)2n 1(1)n 21(2)n 1 322n 2(1)n 1.32 2n 2经验证 a11 也满足上式，所以an(1) n1 3点评 ：利用公式 anSnn1n 分类讨论，但若能合写时一定要合并SnSn 1n求解时，要注意对2练一练： 已知 an 的前 n项和满足 log 2 (Sn 1)n1 ，求 an ； 数列 an 满足 a14, SnSn 15 an 1，求 an ；32四、待定系数法适用于 an 1qanf (n)基本思路是转化为等差数列或等比数列，而数列的本质
6、是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。1形如an 1 can d, (c 0,其中a1a) 型（ 1）若 c=1 时，数列 an 为等差数列 ;（ 2）若 d=0 时，数列 an 为等比数列 ;（ 3）若 c1且d 0 时，数列 an 为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求.待定系数法：设an 1c(an) ,得 an 1can (c 1) ,与题设 an 1 can d, 比较系数得ddc( an 1d(c 1)d, (c 0)an),所以c 1所以有：c 1c1dda na1因此数列c 1 构成以c 1 为首项，以 c 为公比的等比数列，and( a1d) c n 1an (a1d) c n 1d所以c 1c 1即
