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1、(完整word)椭圆内接多边形最值问题昌吉学院 论文（设计）分类号：本科毕业论文(设计)密级：椭圆内接多边形的最值问题系 院 数 学 系 学科门类 理 学 专 业 数学与应用数学学 号 0825809031 姓 名 张 峰 指导教师 李 燕 教师职称 讲 师 2012年 05 月 10 日毕业论文原创性声明本人郑重声明:所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外,本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果或作品。本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。作者签名： 年 月 日毕业论文版权使用授权书本毕业论文作者完全了解学院有关保存、使
2、用毕业论文的规定，同意学院保留并向有关毕业论文管理部门或机构送交论文的复印件和电子版,允许论文被查阅和借阅。本人授权本学院及以上级别优秀毕业毕业论文评选机构将本毕业论文的全部或部分内容编入有关数据库以资检索,可以采用复印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本毕业论文.声明人签名： 导师签名： 年 月 日 年 月 日 摘 要在平面解析几何中,除直线、圆的相关性质外，主要内容还有椭圆、双曲线和抛物线的标准方程及其几何性质与几何意义。其中椭圆的相关性质在平面几何研究中占有重要地位。那么对其进行全面分析和研究具有实际的意义和重要价值。本文运用圆内接多边形的一些思想方法结合椭圆内接三角形的面积和周长的最值问
3、题的相关结论和研究方式，讨论了椭圆内接四边形的面积和周长的最值问题、椭圆内接五边形面积的最值问题和椭圆内接多边形面积的最值问题及图形的尺规作图的方法，给出椭圆内接多边形面积最大值计算公式和椭圆内接多边形的周长最大值时是一个光反射多边形，并且更进一步的深入分析了椭圆内接最大面积三角形的最大周长及最小周长等等。最后，理论联系实际，给出应用举例,运用以上研究结论来解决相关问题。关键词：椭圆;内接;多边形；最值- 1 -Ellipse inscribed polygon of the value problemAbstract In plane analytic geometry， in additi
4、on to linear, round related properties， main content and ellipse, hyperbola and parabola standard equation and its geometric properties and geometric meaning。 The ellipse properties of in plane geometry plays an important role in the study of。 So the comprehensive analysis and research is of practic
5、al significance and of great value.Key words： ellipse;inscribed；polygon s;value. This paper uses inscribed polygon with some concepts and methods of the combination of ellipse inscribed triangle area and perimeter of the value of the relevant conclusions and research methods, discuss the ellipse ins
6、cribed quadrilateral area and perimeter of the value problem, elliptic inscribed pentagons area the most value problems and ellipse inscribed polygon area of the most value problem and graphical ruler gauge construction method， gives the ellipse inscribed polygon area maximum value calculation formu
7、la and ellipse inscribed polygon perimeter maximum is a light reflection polygon， and further indepth analysis of the area of a triangle inscribed in a circle is the largest maximum circumference and minimal perimeter. Finally， linking theory with practice, gives the application example， using the a
8、bove conclusion to solve related problems。Key words： Ellipse;Inscribed；Polygon s；Value目 录摘 要IAbstractII引 言11。椭圆内接三角形21.1椭圆内接三角形的最值及其构造21.2主要结论162。椭圆内接四边形172。1椭圆内接四边形的最值及其构造172。2主要结论213。椭圆内接五边形223。1椭圆内接五边形的最值及其构造223.2主要结论244.椭圆中内接多边形254.1椭圆内接多边形的最值及构造254.2主要结论265。应用举例28结 论32参 考 文 献33致 谢34- 3 -引 言椭圆是圆
9、锥曲线的一种，其标准方程为。第一定义为：平面内与两定点、的距离的和等于常数的动点的轨迹叫做椭圆（其中为椭圆的左右焦点，为椭圆长半轴的长）。 第二定义为：平面上到定点的距离与到定直线的距离之比为常数（即椭圆的离心率，）的点的集合（定点不在定直线上，该常数为小于1的正数）其中定点为椭圆的焦点,定直线称为椭圆的准线（该定直线的方程是焦点在轴上或者焦点在轴上）。若一个三角形所有顶点在同一椭圆上,则该三角形为该椭圆的内接三角形；若一个四边形所有顶点在同一椭圆上,则该四边形为该椭圆的内接四边形若一个多边形所有顶点在同一椭圆上，则该多边形为该椭圆的内接多边形。本文将结合圆内接多边形的一些思想对椭圆内接三角形
10、、椭圆内接四边形、椭圆内接五边形和椭圆内接多边形的最值问题进行研究。总结出了椭圆内接三角形、内接四边形的面积和周长取最值的结论，以及椭圆内接五边形和内接多边形的的最大面积。 1。椭圆内接三角形如果一个三角形所有顶点在同一椭圆上,则该三角形为该椭圆的内接三角形。圆是椭圆的特殊情况，对圆内接多边形的研究比较多，而对于椭圆内接多边形的研究甚少。首先对椭圆内接三角形的最值问题进行研究探索.1。1椭圆内接三角形的最值及其构造关于椭圆内接三角形的最值问题，先讨论椭圆内接三角的最大面积.一切研究从最简状态开始，由于圆是椭圆的特例，是两个焦点重合的椭圆。圆内接最大面积三角形是正三角形，其面积为（其中是圆的半径
11、)。关于圆还有一个重要的结论:圆内接三角形是直角三角形的充要条件是该三角形的其中一条边恰为该圆的直径(如图1。1.1）。在中，过圆心的弦为直径，则和的斜率之积为定值1.图1.1。1 而在椭圆中也有类似相应的结论:性质1：坐标平面内，中心在原点，焦点在轴上的椭圆中一内接三角形的一条边若经过椭圆的中心，则该三角形另两条边所在直线的斜率之积为（特别地，若有一条边的斜率不存在，则另一条斜率必为0）。由此可得:设椭圆的方程为，,是两条不垂直于对称轴的直线，其中与椭圆交于、两点，斜率为；直线交椭圆于、两点，斜率为，和相交于。若，其中一条（这令为）必过椭圆的中心且相交弦的交点必为弦另一条(令为）的中点（如图
12、1.1。2）.图1.1。2 当直线平行移动时，的中点轨迹就在直线上，且满足（如图1。1。3).图1.1.3 经分析可知，结论和结论互为逆命题，这两个结论转化为椭圆相交弦的一个性质： 性质2：坐标平面内,中心在原点,焦点在轴上的椭圆中一条不过中心弦恰被过椭圆中心的另一条弦平分的充要条件是这两条相交弦的斜率之积为（特别的,若一条斜率不存在,则另一条斜率必定为0）。而当两弦都过椭圆中心时，结论不一定成立。 除性质2外,还有一个有关于椭圆中相交弦之积等于的结论： 设弦为椭圆中过中心的弦，已知点为椭圆上不同于点和的任一点,设所在直线的斜率为，所在直线的斜率之积为，则（如图1.1。4）。图1。1.4 证明
13、：由条件，设过椭圆中心的直线与椭圆的交点分别为、，点的坐标为，则可得,，则.以上关于圆与椭圆之间相交弦问题的类比，性质2就是将圆的一条性质：对于一个圆的直径与该圆的交点而言，过交点作圆的切线必与这条直径垂直,且与该切线平行弦都被这条直径垂直平分类比到了椭圆。定义:过椭圆中心的弦叫做椭圆的直径。 对于椭圆内相交弦的斜率之积的结论,从而联想到了一道考试题，命题是尝试体现研究型试题的特征,考察学生能否在试题的启发下对一个特殊的结论进行推广，提出更一般化的命题证明。经简化，问题如下： 设过原点的弦交椭圆：于点、，定点坐标为,试求面积的最大值，并求此时所在直线的斜率； 对于上题的解答，当的面积取得最大值
14、时，结论中直线的斜率和所在直线的斜率之间的关系。由此推广到点位置的一般情况或椭圆的一般情况. 解:（1），此时。 可提出如下较一般化的命题：设点和椭圆：，若过椭圆中心的直线与椭圆分别交于、两点.则当的面积取得最大值时，直线的斜率和所在直线的斜率满足。” 证明：设，由椭圆的对称性,可设，点到直线距离为。由此，所在直线方程为，故,其中可得.要使取得最大值，则必有，。 所以，此时必有而由题设，则当取得最大值时，。 所以,此时，可以验证,是以上结论的一个特例。从上述推广的结论中，再次发现了斜率之积为的身影,若将题目中给出的命题简化，则有：坐标平面内一定点与中心在原点，焦点在轴上的椭圆中一条过中心的弦所构造的三角形，当且仅当弦所在直线的斜率与该三角形中过定点的中线斜率之积为时,椭圆内接三角形的面积取最大值（如图1。1。5)。图1.1.5 探究:从性质研究到几何构造根据上述结论，问题转化到了椭圆的内接
