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1、抛物型方程有限差分法 抛物方程差分法的构造在空间方向上与椭圆方程类似，在时间方向上用一阶差商代替代替一阶微商。然后在时间方向上逐层求解。特别当空间维数较高时，可以使用局部一维格式大大降低计算量。1. 简单差分法考虑一维模型热传导方程(1.1) ，其中为常数。是给定的连续函数。（1.1）的定解问题分两类： 第一，初值问题（Cauchy 问题）：求足够光滑的函数，满足方程（1.1）和初始条件：（1.2） , 第二，初边值问题（也称混合问题）：求足够光滑的函数，满足方程（1.1）和初始条件： , 及边值条件 ， 假定和在相应的区域光滑，并且于，两点满足相容条件,则上述问题有唯一的充分光滑的解。现在考
2、虑边值问题（1.1），（1.3）的差分逼近取 为空间步长，为时间步长，其中，是自然数，, ； , 将矩形域分割成矩形网格。其中 表示网格节点；表示网格内点（位于开矩形中的网格节点）的集合；表示位于闭矩形中的网格节点的集合；表示-网格边界点的集合。表示定义在网点处的待求近似解，。注意到在节点处的微商和差商之间的下列关系（）：可得到以下几种最简差分格式（一） 向前差分格式 ， =0其中，。取为网比，则进一步有 =+此差分格式是按层计算：首先，令，得到=+于是，利用初值和边值=0，可算出第一层的，。再由取，可利用和=0算出，。如此下去，即可逐层算出所有（，）。由于第层值可以通过第层值直接得到，如此的
3、格式称为显格式。并视为的近似值。若记，则显格式可写成向量形式其中若记那末截断误差（1.5） =。其中是矩形，中某一点。事实上，+=+=。这里故，从而（二） 向后差分格式 ， =0其中 ，。取为网比，则进一步有 +=+按层计算：首先，取，则利用初值和边值=0，来确定出第一层的，即求解方程组：+=+，=0。求出，在由取，可利用，解出，。如此下去，即可逐层算出所有，。如此每层必须解一个三对角线性方程组的格式称为隐格式。并视为的近似值。直观地说，采用显式格式进行求解既方便又省工作量。但是，后面我们将看到，有些情况用隐式格式更为便利。1.2.3 Grank-Nicholson法将向前差分格式和向后差分格
4、式做算术平均，得到的差分格式称之为六点对称格式，也称为Grank-Nicholson格式： ， =0进一步， +=+按层计算：首先，取，则利用初值和边值=0，来确定出第一层的，即求解方程组：+=+，=0。求出，在由,取，可利用，解出，。如此下去，即可逐层算出所有，。若记在处作Taylor 展开，可以算出截断误差为（1.7） =。（四）Richardson格式（1.10） +进一步 =（+）+2这是三层显式差分格式。显然截断误差的阶为。为使计算能够逐层进行，除初值外，还要用到。它可以用其他双层格式提供。Richardson格式的矩阵形式为：其中2 稳定性与收敛性 抛物方程的两层差分格式可以统一写
5、成向量形式:(2.1) 其中，和是阶矩阵。我们假定可逆，即（2.1）是唯一可解的。对于显格式，等于单位矩阵。三层格式可以通过引入新变量化成两层格式。假设差分解的初始值（其实可以是任一层的值）有误差，以后各层计算没有误差，让我们来考察初始误差对以后各层的影响。令和分别是以和为初始值由差分格式（2.1）得到的两组差分解，则满足（2.2） 因此，按初值稳定应该意味着。这就导致如下定义： 假设，我们称差分格式（2.1）按初值稳定，如果存在正常数和，使得以下不等式成立：（2.2） ， 这里是上的某一个范数，例如 类似地，假设，我们称差分格式（2.1）按右端稳定，如果存在正常数和，使得以下不等式成立：（2
6、.2） ， 可以证明，差分格式若按初值稳定，则一定按右端稳定。因此，这时我们简单地称差分格式稳定。前面讨论的向前差分格式（1.4）当网比时稳定，当时不稳定。这就意味着给定空间步长以后，时间步长必须足够小，才能保证稳定。而向后差分格式（1.6）和Grank-Nicholson格式（1.8）则对任何网比都是稳定的，时间步长可以取得大一些，从而提高运算效率。Richardson格式则对任意网比都是不稳定的。因此，虽然Richardson格式是个显格式，截断误差又很小，但是却不可用。如果某个差分格式的截断误差当和趋于0时随之趋于0，则称这个差分格式是相容的。可以证明：若差分格式是相容的和稳定的，则它是
7、收敛的，并且差分解与微分解之间误差的阶等于截断误差的阶。因此，当网比时，向前差分格式（1.4）有收敛阶。对任何网比，向后差分格式（1.6）有收敛阶，而Grank-Nicholson格式（1.8）有收敛阶。3高维抛物方程差分法考虑如下二维抛物方程的差分格式。（3.1） 取空间步长，时间步长。作两族平行与坐标轴的网线，其中，将矩形区域分割成个小矩形。记为网格节点上的差分解。前述各种一维差分格式都可以直接用于以（3.1）为代表的二维以至更高维的抛物方程。例如，向前差分格式成为（3.2） 实际计算时，先令，利用已知的等等，对，用（3.2）算出。而由边值条件，补充得到。下一步，令，利用已知的第1层的差分
8、解类似地算出第2层的差分解。以此类推，直到。各种隐格式，例如向后差分格式和Grank-Nicholson格式，也可以类似地推广用于高维情形。每次计算新的一层差分解时，同样需要求解一个线性方程组。但是，这个线性方程组不再是三对角的，方程组阶数为，其中是抛物方程的维数。因此，求解成本大大增加，甚至导致无法求解。为了克服这一困难，人们提出了各种降维技巧，局部地把高维问题化成一维问题求解。下面给出的求解二维抛物方程的LOD格式（局部一维格式）就是其中一例。（3.3a） （3.3b） ； 其中 ，LOD格式的计算步骤可以总结如下：1） 令。2） 。3） 求解三对角线性方程组（3.3a）得到差分解。4） 若，则增加1，转步骤3）。否则转5）。5） 令。6） 求解三对角线性方程组（3.3b）得到差分解。7） 若，则增加1，转步骤6）。否则转8）。8） 若，则增加1，转步骤2）。否则结束。LOD格式的基本想法是，由第层计算层时，对，依次固定，然后计算这条直线上各个网点上的近似值；因为这时不变，所以原来的二维微分方程退化为关于的一维微分方程。接着，当由第层计算层时，则依次固定。LOD格式可以直接推广到任意维抛物方程。LOD格式对任意网比都是稳定的，截断误差阶和收敛阶是。
