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1、北京市水资源短缺风险综合评价 基于因子分析优化模型华南师范大学 彭小冲、姚冬燕、张英濠摘要近年来，我国，特别是北方地区的水资源短缺问题日趋严重，水资源短缺成为了焦点话题。作为我国的首都，北京市也是一座严重缺水的特大城市，已连续干旱了十多年。为了更好的了解我国首都北京的水资源的基本情况以及找出其水资源短缺的主要原因，对其作出综合评价以及给当地政府一些相关的参考建议。本论文从北京市2010年度统计年鉴找到2001年到2009年北京市影响水资源的相关指标的数据，主要应用因子分析法对其进行分析，找出影响北京市水资源短缺的主要风险因子以及综合风险评价因子，同时在此基础上建立了因子分析优化预测模型，对9年
2、来水资源的情况进行判别；并用一次指数平滑法对该市2010年的有关数据进行估计，以此预测2010年水资源的好坏，并进一步对多年来影响北京市水资源问题的原因进行分析以及提出解决的建议。关键词：指标体系，因子分析，一次指数平滑估计，因子分析优化模型。正文一、 问题阐述北京市是我国一座严重缺水的特大城市，已连续干旱了十多年；此外，降雨量又没有增加反而在逐年下降(如图1-1)，以致其人均占有量仅为全国平均水平的1/8，为世界人均水平的1/30，属于重度缺水地区，水资源短缺的问题已成为制约其发展的主要因素。尽管政府采取了如南水北调工程建设、产业结构调整等一系列的措施，但气候变化和经济社会在不断发展，水资源
3、短缺风险始终存在，且日趋严峻。图1-1 08、09年降雨量与多年平均对比图片来源：2009年北京市水资源公报北京市水资源公报中非常详细地记录了北京市水资源各年的状况，包括其概述、水资源、水资源利用、水质和重要水事。要找到水资源短缺的主要风险因子，首先要知道影响水资源的因素有哪些，再从分析众多因素对水资源影响的大小程度来判定该因素是否是主要风险因子。近几年来北京市水资源的短缺风险程度究竟是怎样的？又该怎样作出综合的评价？国家统计局对2010年水资源的有关研究工作结果还没有出来，能否借助前人的经验建立主成分分析模型1或者因子分析模型对北京市水资源短缺风险进行年度性研究，预测并反映出2010年的用水
4、风险程度呢？二、 数据描述2.1 变量选取在考虑水资源短缺指标时，要考虑水资源质量和数量的指标，也要考虑水资源的开发利用程度和水资源开发利用效率方面的指标。综合分析，本论文考虑了影响水资源短缺风险的水资源压力指标、水资源消耗指标、污水响应指标和经济效益指标，这四类指标涵盖了供水、用水、气象、经济等方面对水资源的影响。而水资源压力指标方面的变量有降雨量、地表水资源量、地下水资源量、水资源总量、总供水量及人均水资源量；水资源消耗指标方面的变量有工业用水量、人均年生活用水量、农业用水量和环境用水量；污水响应指标方面的变量有污水处理率、污水处理能力、工业废水排放量和生活污水排放量；经济效益指标方面的变
5、量有万元GDP水耗量和万元地区生产总值水耗下降率。(原始数据看附表I)2.2 指标体系建立通过2.1中所选取的变量，建立能解决问题的指标体系至关重要。在运用因子分析法对变量进行分析时，由于所选的变量是要求正向化的，所以为了方便后面的正向化，我们对以上选取的非正向化的变量进行如下处理：工业用水率=工业用水量/总供水量，农业用水率=农业用水量/总供水量，环境用水率=环境用水量/总供水量，人均年生活用水率=人均年生活用水量/人均水资源量，工业废水排放率=工业废水排放量/(工业废水排放量+生活污水排放量)，生活污水排放率=生活污水排放量/(工业废水排放量+生活污水排放量)。 (处理后的数据看附表II)
6、 经过上面的数据处理，我们根据所选变量建立以下指标体系(正向化的指标处理，请参阅3.2)：表2-1 变量明细表选取目标选取准则选取变量名称正向化分析变量名称北京市区域水资源短缺风险水资源压力指标降雨量(单位:毫米)地表水资源量(单位:亿立方米)地下水资源量(单位:亿立方米)水资源总量(单位:亿立方米)总供水量(单位:亿立方米)人均水资源量(单位:立方米)降雨量()地表水资源量()地下水资源量()水资源总量()总供水量()人均水资源量()水资源消耗指标工业用水率(%)人均年生活用水率(%)农业用水率(%)环境用水率(%)工业节水比()人均年生活节水比()农业节水比()环境节水比()污水响应指标污
7、水处理率(%)污水处理能力(单位:万立方米/日)工业废水排放率(%)生活污水排放率(%)污水处理率()污水处理能力()工业废水节排比()生活污水节排比()经济效益指标万元GDP水耗量(单位:立方米)万元地区生产总值水耗下降率(%)单位水产GDP效益()万元地区生产总值水耗下降率()2.3 模型假设为了加强我们所建立的因子分析优化模型的严密性，我们提出以下假定：(1)假设近十年北京市的自然条件是相对平稳的，即没有重大的水资源破坏，没有不规律的降雨、降雪等；(2)假设所选择的分析变量在短时间内都是相对稳定的且一致有效的，即观测值存在波动，但不会出现极端值，同时也不是估计的，从而排除了数据突变和无效
8、估计带来的影响；(3)假设模型中所有的因子都满足正态分布，即，其中；(4)假设对2010年各个指标的估计所产生的误差是可以忽略不计的，即估计的误差项是收敛于零的。三、 模型建立3.1 因子分析优化模型理论因子分析优化模型：有维的可观测随机向量，均值为，协差阵为,对正整数，求：称之为因子载荷阵的，称之为因子的随机向量，称之为误差的随机向量，使， (3.11)， (3.12)达到最大(tr是方阵的迹)， (3.13)的列数， (3.14)式(3.11)-(3.14)中的关系构成正交因子优化模型。用式(3.11)-(3.12)容易证明：是变量X与因子的相关阵。注1: 简单结构：每行中有一元素绝对值靠
9、近1，其余元素绝对值小额到中等。 (B第j列元素的平方和)称为因子方差贡献，它是衡量因子解释变量X信息程度的指标； 称为因子累计方差贡献，它是衡量因子解释变量X信息程度的指标；称为因子解释变量的误差信息，称为因子解释变量X的误差信息。引理1 设的特征值为、，0，（这里有）,， (前k个标准化主成分)，则满足式(3.11)，式(3.12)，且。定理1 如果满足条件(3.14)，则，是因子分析优化模型的精确解，且(同引理1)，称为初始因子，称为初始因子载荷阵。 当变量与初始因子的相关阵没有达到简单结构时，初始因子及其初始因子载荷阵难以和实际问题对应，此时可以通过某个正交阵，使和 有鲜明的实际意义，
10、即变量与旋转后因子的相关阵较靠近简单结构。这里有：定理2 设是使方差最大化的正交旋转矩阵，如果满足条件(3.14)，则,是因子分析优化模型的精确解，且(同引理1)，称为旋转后因子(的旋转)，称为旋转后因子载荷阵。3.2 指标的正向化 考虑到指标、都是逆向或者反向指标，而并不是正向指标。因此，要对这几个指标分别进行正向化：分别对、取倒数，并将其命名为工业节水比、人均年生活节水比、农业节水比、环境节水比、工业废水节排比、生活污水节排比，对取倒数后再乘以10000，并将其命名为。（正向化后的数据看附表III）3.3相关阵的特征值(其中)表3-3 相关阵特征值矩阵（Eigenvalues of the
11、 Correlation Matrix） 序号 特征值 前后特征值差 方差贡献率 累计贡献率 1 10.3880147 7.4679552 0.6493 0.6493 2 2.9200595 1.5703177 0.1825 0.8318 3 1.3497418 0.7074836 0.0844 0.9161 4 0.6422582 0.1174327 0.0401 0.9563 5 0.5248255 0.4183763 0.0328 0.9891 6 0.1064492 0.0639080 0.0067 0.9957 7 0.0425413 0.0164314 0.0027 0.9984
12、8 0.0261098 0.0261098 0.0016 1.0000 9 0.0000000 0.0000000 0.0000 1.0000 10 0.0000000 0.0000000 0.0000 1.0000 11 0.0000000 0.0000000 0.0000 1.0000 12 0.0000000 0.0000000 0.0000 1.0000 13 0.0000000 0.0000000 0.0000 1.0000 14 0.0000000 0.0000000 0.0000 1.0000 15 0.0000000 0.0000000 0.0000 1.000016 0.0000000 0.0000 1.0000（相关阵特征值计算编程看附录9.2.1） 从相关系数矩阵的特征值方差贡献率可以看到，当时，此时的累计方差贡献率已经达到83.18%，而当时，累计方差贡献率已达91.61%。因此，若选用初始因子构建因子分析优化模型，则可参考选用初始因子个数为或者。此外，我们也注意到当时， (其中)，我们查阅了相关的资料，资料显示由于所建立的指标体系中的变量数大于样品量，以致相关系数矩阵的协差阵在之后就都是零，这正是小样本引起的结果，说明后续的模型建立需要考虑小样本的影响。3.4 因子载荷阵
