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1、数列求和中常见放缩方法和技巧、放缩法常见公式:(1)(2)(3) n Jn n 1（4）2n 2n 1 （二项式定理）(5) ex x 1, inx x 1 (常见不等式)常见不等式：1、均值不等式；2、三角不等式；3、糖水不等式；4、柯西不等式；5、绝对值不等式;若欲证不等式含有与自然数n有关的n项和，可采用数列中裂项求和等方法来解题。例4.已知nC N*,求1证明：因为,11则1、2.3 L1Jn1 2、. 2 12 32 L 2 , n . n 12、.n 1 2,n*例5.已知n N且an- n(n1)n(n 1)2an所有正整数n都成立。证明：因为 n(n 1)n(n 1)2立。所以
2、6、求证:证明:1)n(nn(n 1)122132n(n 1)2n2(n 1)22,综合知结论成1)1212212 n1) n2 ：)此题采用了从第三项开始拆项放缩的技巧,放缩拆项时,不一定从第一项开始,须根据具体题型分别对待，即不能放的太宽,也不能缩的太窄，真正做到恰倒好处。1-ln(n 1)13n112n 2n 113n9189273n 13n 13n 13n5n6ln2ln3In 4In nn(nN*,1)例6.已知函数f(x)x212x 1证明：对于n N且n 3都有f(n)证明：由题意知：f又因为n3,2n2n2n所以只须证2n2n 12n2n2 2n1,又因为2n01CnCnCnC
3、nnCn2n所以f (n)例3.已知b、c为三角形的三边,求证:由于a、b、c为正数，所以不，所以占十代.又a, b, c为三角形的边，故 b+ca,则故六十ab-c +综合得1vaV2。4、证明:12101210121102证明：210210 1 210己为真分数，则2bb-ca + b+ c2c b ca + b+ c-a-n+( (nN ).2n 12、)证明：由f(n)=4n1 4n=1- 一112 2n得 f (1)+f(2)+f(n)1n 14(112n 1-12 211n 1122 2212 2n此题不等式左边不易求和2(n*N ).，此时根据不等式右边特征,先将分子变为常数，再
4、对分母进行放缩，从而对左边可以进行求和.若分子，分母如果同时存在变量时，要设法使其中之一变为常量，分式的放缩对于分子分母均取正值的分式。如需放大，则只要把分子放大或分母缩小即可；如需缩小，则只要把分子缩小或分母放大即可。例3、已知an=n ,求证:证明:Jk1)k(k+1)：=1M(k1)( k+1) ( Vk1 +Vk1)n k 1 、k 1 k 21(k=1)(k=1)=1 +鼠 （ V（k-1）-V（k+1）=1 + 1 +衣_12 Jn (n+1)*3本题先采用减小分母的两次放缩，再裂项，最后又放缩，有的放矢，直达目标三.单调函数放缩根据题目特征，通过构造特殊的单调函数，利用其单调性质
5、进行放缩求解。例10.已知a,bC R,求证a b|1 a ba b1 |a|1 ib证明：构造函数f(x)一（X X0）,首先判断其单调性，设 0X1X2,因为f(X1) f(X2)X11 X1X2X2(1X1X2X1)(1 X2)0 ,所以f X1X2 ，所以f（x）在0,上是增函数，取X1X2X1X2 ，所以f(a b)f(lal|b|)即 _J_a_b_L1 la bllai |b|1 lal lbl|a|a|、函数放缩1 |a| |b|1 lai |b| 1 lailbl1 lblo证毕。例 8.求证：ln2 ln3 1n 4ln 3non 5n 6 /.3(n N6解析：先构造函数
6、有.ln xcause9918 273n 12 3n 11x,从而In2ln 3飞-ln4丁nln 3Qn3n1133n)1111111 11 1111123n313n5n2345 67 892n2n 13n163nln xx所以ln 22ln 33ln 44ln 3n3n3n1 5n3n5n 66例10.求证：1 12 3ln(n1)1 2解析：提示：ln( n1),n 1 nln n n1n白ln2函数构造形式：lnx xlnx 1 1 in x x, in x I _x当然本题的证明还可以运用积分放缩如图，取函数f(x) 1X首先：qSabcfn ixn 1n I*ln x|： iIn
7、nln(ni)取i 1有，1 nln nln(n1)，所以有ln 2,ln 3 ln 2，lnln(n11)， ln(nn 11)lnn ,相加后可以得ln(n 1)另一方面SSABDEn1n ix,从而有n iln x |n i ln n ln( n i)取i 1有，1n 1ln nln(n 1)，所以有ln(n 1) 1 - 21，所以综上有!二n2 3n r)(XI711-2例13.证明:怛吧 如约U(n N*,n 1)345 n 14解析：构造函数f(x)ln(x 1) (x 1) 1(x 1),求导，可以得到：f(x) -L 1 J，令 f(x)x 1 x 12 ,令 f,(x) 0
8、有 x 2,所以f(x)f(2)0,所以 ln(x 1) x 2,令 x n2 1 有，lnn2 n2 1所以W 3,所以82 % ln4 此行345lnn n(n 1).(n N*, n 1) n 14例3 （市模拟）定义数列如下:ai2，an ianan 1,n N证明：（1）对于n N恒有an i an成立。（2）当n2且nN，有小ianan 1 a2ai 1 成立。(3) 12 200611aa21a20061。分析：（1）用数学归纳法易证。2(2)由 an 1 an an 1 得:an 11 an (an 。a n 1 an 1(an 11)a 2 1 a1（a1 1）以上各式两边分别相乘得:an 11
