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1、第五章 频率响应法一。基本要求：1 了解频率特性的基本概念；频率特性的表示方法2 熟练掌握典型环节的频率特性3掌握奈氏图的绘制方法4熟炼掌握伯德图的绘制方法5熟练掌握奈魁斯特稳定判据及稳定裕量的计算6掌握由频率特性分析系统的稳定性和性能的方法。二本章要点：1频率特性（1）在正弦输入信号的作用下，线性定常系统输出的稳态分量与输入正弦信号的复数比称为系统的频率特性。（2）频率特性与传递函数的关系为： 频率特性、微分方程与传递函数三种数学模型之间关系如图5-1所示（3）频率特性的表示方法其中： 和分别表示幅频特性和相频特性, 和分别表示实频特性和虚频特性。 幅相频率特性 又称奈奎斯特图，极坐标图。它
2、是以为参变量，以复平面的矢量表示的一种方法。的幅值为，相角为（从正实轴开始，逆时针为正）。当频率从0变化到时，这个矢量的矢端在复平面上描绘出的曲线就称为系统的幅相频率特性，可由和或和来绘制。对数频率特性(又称伯德图，共两条曲线和) 将幅频特性用增益来表示，其关系为：，称作对数幅频特性。其横坐标为，常用对数分度；纵坐标为，单位为。对数相频特性的横坐标与对数幅频特性相同，按对数刻度，标以频率值，纵坐标为，单位为度（o）。对数幅频特性和对数相频特性合称为对数频率特性，或称作伯德图。2典型环节的频率特性及开环系统频率特性的绘制（1）在熟练掌握典型环节频率特性的基础上，绘制开环系统幅相频率特性的一般步骤
3、为：写出开环系统的幅频特性、相频特性及实频特性和虚频特性；利用幅频特性、相频特性求出和时的幅值和相角，确定幅相频率特性的起点（型系统：起点为；型系统：起点为,特别是型系统，其低频段渐进线为）和终点（）。利用实频特性和虚频特性求出幅相频率特性与实轴和虚轴的交点（包括交点对应的频率），特别是与实轴的交点对于系统稳定性的判别有重大意义。令，求出，代入中，即可求出与虚轴的交点与对应的频率；令，求出，代入中，即可求出与实轴的交点与对应的频率。按顺时针方向，从起点开始，中间通过几个关键点到达终点。（在此没有考虑零点及非最小相位情况）（2）绘制开环系统对数频率特性的一般步骤为：将系统的开环传递函数分解为若干
4、典型环节相乘的形式；画出每个典型环节的对数频率特性曲线和；分别对它们进行代数相加，即可得到开环系统的对数频率特性曲线和。3奈奎斯特稳定判据及稳定裕量（1）奈奎斯特稳定性判据当开环系统稳定时，如果相应于从-+变化时的奈氏曲线不包围 (-1，j0)点，则闭环系统是稳定的，否则就是不稳定的。当开环系统不稳定时，说明系统的开环传递函数有个极点位于平面的右半部分，如果当从+变化时的奈氏曲线逆时针包围点的次数，则闭环系统是稳定的，否则(即)，闭环系统就是不稳定的。如果奈奎斯特曲线正好通过点，这表明闭环系统有极点在平面的虚轴上，则闭环系统处于临界稳定状态，这种情况一般也认为是不稳定的。为简单起见，奈氏曲线通
5、常只画从0+变化的曲线的正半部分，另外一半曲线以实轴为对称轴。应用奈奎斯特稳定性判据判别闭环系统稳定性的一般步骤如下：绘制开环频率特性的奈氏图，作图时可先绘出对应于从0+的段曲线，然后以实轴为对称轴，画出对应于0的另外一半。计算奈氏曲线对点的逆时针包围次数。为此可从点向奈氏曲线上的点作一矢量，并计算这个矢量当从-0+时转过的净角度，并按每转过为一次的方法计算值。由给定的开环传递函数确定位于平面右半部分的开环极点数。应用奈奎斯特判据判别闭环系统的稳定性。（2）稳定裕量用相位裕量和增益裕量来定量的表示系统的相对稳定性，它们也是系统的频率域性能指标。相位裕量和增益裕量如图5-2所示。增益裕量令，可求
6、得。增益裕量表明：若系统的开环增益增加倍，则闭环系统达到临界稳定状态。实 际中常用对数增益裕量表示。图5-2相位裕量和增益裕量 相位裕量 令或，可求得。显然，当及时，闭环系统是稳定的。一般当，时，控制系统可以得到较为满意的动态性能。 4系统的伯德图可分成三个频段： 低频段（）反映了系统的稳态性能，中频段（附近，斜率为）反映了系统的动态性能，高频段（）则反映了系统抗高频干扰的能力。 三典型例题分析：例5-1已知系统开环传递函数为：，试绘制其极坐标图。解：显然，系统为I型系统，因此其极坐标图的起点为，以的方向进入坐标原点。由系统的开环传递函数可写出其开环频率特性为： 当时：，当时：，图5-3 极坐
7、标图 又因为 所以 注：I型系统需要求渐进线，来确定其极坐标图低频段的位置。极坐标图如图5-3所示。例5-2已知系统开环传递函数为：试求：（1）时，分析系统稳定性；（2）时，分析系统稳定性；（3）分析开环放大倍数的变化对系统稳定性的影响。解：显然，系统为0型系统，因此其极坐标图从正实轴出发，以的方向进入坐标原点。系统的开环频率特性为：令 图5-4(a) 极坐标图 即， 得： ，对应极坐标图的起点； ，对应极坐标图与负实轴的交点代入中得： 图5-4 (b) 极坐标图 （1）时：，极坐标图如图5-4(a)所示。 而 ，故，闭环系统稳定。（2）时：，极坐标图如图5-4(b)所示。 而 ，故，闭环系统
8、不稳定， 且右半平面有两个闭环极点。（3）由（1）和（2）可见，增大开环放大倍数，系统的稳定性会下降，甚至会不稳定。当时，即时，闭环系统处于临界稳定状态。例5-3系统开环传递函数为：试绘制伯德图。解：由已知条件可知，系统为I型系统，系统开环传递函数可以分解为：由于惯性环节的转折频率为：故对数幅频特性低频段的斜率为，其延长线与横轴的交点为320；当时，对数幅频特性的斜率由变为。而对数相频特性为：图5-5 对数频率特性 伯德图如图5-5所示。例5-4系统开环传递函数：试绘制伯德图。解：系统为0型系统，系统开环传递函数可以分解为：故对数幅频特性低频段为一水平直线，其高度为，其它各环节的转折频率分别为
9、：， ，；因此对数幅频特性在时，斜率由变为，时，斜率由变为，时，斜率由变为，时，斜率由变为。而对数相频特性为：图5-6 对数频率特性 伯德图如图5-6所示。图5.15 对数相频特性例5-5某系统开环传递函数：试求：（1）试绘制时的伯德图，并求及；（2）分析开环放大倍数的变化对系统稳定性的影响。解：（1）时，系统开环传递函数转化为： 系统为I型系统，系统开环传递函数可以分解为： 转折频率为：,则伯德图如图5-7所示。图5-7 对数频率特性 令，即,可求得： 由图5-7可知：，则 ，则 所以有： , 令，可求得 ： ，所以 ， 即 由于及，所以闭环系统是稳定的。（2）由于增益裕量表明：若系统的开环
10、增益增加倍，则闭环系统达到临界稳定状态，所以增大开环放大倍数，系统的稳定性会下降，当，即时系统达到临界稳定状态，当时系统不稳定。例5-6已知某单位负反馈最小相位系统的对数幅频特性曲线如图5-8所示，试:(1)写出该系统的开环传递函数；(2)求该系统的剪切频率和相位裕量。 解：(1)根据对数幅频特性曲线图可知，低频段的斜率为，故系统为型；当时，斜率由变为，故为一阶比例微分环节的时间常数；当时，斜率由变为，故为惯性环节的时间常数；当时，图5-8 最小相位系统伯德图 即，所以系统的开环传递函数为： (2)令，即 亦即： 可求得： ，由于，所以闭环系统是稳定的。例5-7已知某自动控制系统如图5-9(a
11、)所示，试： 图5-9(a) 控制系统框图（1）写出该系统的开环传递函数；（2）绘制该系统的伯德图；（3）求出并判断系统稳定性；（4）当时，求系统的。解：（1）该系统的开环传递函数：（2）绘制该系统的伯德图该系统为0型系统，低频段为一水平线，且当时，；两个惯性环节的转折频率分别为： ，伯德图如图5-9(b)所示。图5-9(b) 系统的伯德图 （3）求出并判断系统的稳定性令，即，近似后：可求得： 由于，所以闭环系统是稳定的。也可以用奈氏判据判断：根据系统的开环传递函数可知，从系统的伯德图上可以看出，由可以计算出，即分布在右半平面的系统闭环极点的个数为零，也就是说系统的所有闭环极点均位于的左半平面
12、，所以闭环系统是稳定的。（4）当时，求：显然，则而 所以 四习题5-1.系统的开环传递函数为 =，试求：绘制系统伯德图；确定闭环系统的稳定性；求幅值裕度和相位裕度。5-2.系统的开环传递函数为=，试求：绘制系统伯德图；确定闭环系统的稳定性；求幅值裕度和相位裕度。5-3.设单位反馈系统开环传递函数为，试计算系统的和相位裕量。5-4.设某控制系统开环传递函数：，试求：绘制系统伯德图；确定使系统临界稳定性的值。5-5.已知环节的对数幅频特性渐近线如图5-10所示，试写出它们的传递函数。图5-10 对数幅频特性渐近线5-6已知某随动控制系统如图5-11所示，图中的为检测环节与串联校正环节的传递函数，现设,其中，试：图5-11 随动控制系统框图（1）写出该系统的开环传递函；（2）绘制该系统的伯德图；（3）求出并判断系统稳定性；（4）当时，求系统的。5-7设系统开环频率特性的极坐标图如图5-12所示，试判断闭环系统的稳定性。图5-12 极坐标图
