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1、线性代数证明题1、试题序号：3212、题型：证明题3、难度级别:34、知识点：第二章 矩阵及其运算5、分值:86、所需时间:8分钟7、试题关键字：矩阵秩的性质8、试题内容： 设为一个阶方阵，为同阶单位矩阵且，证明：。9、答案内容：证明：10、评分细则：由题设推出得2分;由矩阵秩的性质推出得2分;推出得2分;因而推出得2分。-1、试题序号:3222、题型：证明题3、难度级别:34、知识点: 第五章 相似矩阵及二次型5、分值：86、所需时间：6分钟7、试题关键字:正交矩阵的特征值8、试题内容： 设为一个阶正交矩阵，且.证明：是的特征值。9、答案内容：证明：10、评分细则:推出（2分）（2分)(2分
2、）推出并说明是的特征值(2分)。-1、试题序号:3232、题型:证明题3、难度级别:44、知识点：第五章 相似矩阵及二次型5、分值：86、所需时间：10分钟7、试题关键字：二次型的正定性8、试题内容： 已知均为阶正定矩阵，试证明：分块矩阵也为正定矩阵。9、答案内容：10、评分细则：由题设中条件推出是对称矩阵（2分)；令（2分）;由推出中至少有一个不为零(2分)。则有,推出为正定二次型（2分）。因而有为正定矩阵(2分）.-1、试题序号:3242、题型：证明题3、难度级别：34、知识点：第五章 相似矩阵及二次型5、分值:86、所需时间：8分钟7、试题关键字：二次型的正定性8、试题内容： 设均为阶正
3、定矩阵，试证明：也为正定矩阵。9、答案内容：证明：10、评分细则：由题设中条件推出为对称矩阵(2分)；令（2分)；（2分）;推出为正定二次型(2分）；因而有为正定矩阵(2分)。-1、试题序号：3252、题型：证明题3、难度级别:24、知识点：第四章 向量组的线性相关性5、分值：86、所需时间：8分钟7、试题关键字:向量组的线性关系8、试题内容: 若向量可由向量组线性表示，但不能由线性表示，试证:可由线性表示.9、答案内容：证明：10、评分细则：由题设中条件令（2分)；假设推出不能由线性表示矛盾(2分）;可以由，线性表示（4分）。-1、试题序号：3262、题型:证明题3、难度级别：44、知识点：
4、第四章 向量组的线性相关性5、分值：86、所需时间:10分钟7、试题关键字:向量的线性关系与矩阵的秩8、试题内容： 如果向量组线性无关，试证:向量组线性无关。9、答案内容：证明：10、评分细则：令,（1分);由题设条件推出(1分);令推出(2分);推出(2分)又线性无关(2分）。-1、试题序号：3272、题型：证明题3、难度级别:34、知识点：第二章 矩阵及其运算5、分值：86、所需时间：8分钟7、试题关键字：奇异矩阵8、试题内容： 已知矩阵，且证明：为奇异矩阵。9、答案内容：证明：10、评分细则：由题设中条件推出(1分）；推出（3分）;推出（2分)；推出为奇异矩阵(2分）。-1、试题序号：3
5、282、题型：证明题3、难度级别:24、知识点:第四章 向量组的线性相关性5、分值：86、所需时间：6分钟7、试题关键字：向量组的线性关系与矩阵的秩8、试题内容： 设维基本单位向量组可由维向量组线性表示，证明：线性无关。9、答案内容：证明：10、评分细则：令(2分）；由题设条件推出存在一个阶矩阵（2分);使得（4分）.-1、试题序号:3292、题型：证明题3、难度级别：44、知识点：第四章 向量组的线性相关性5、分值：86、所需时间：10分钟7、试题关键字：向量组的线性关系与矩阵的秩8、试题内容： 设线性无关，可由线性表示，不可由线性表示，证明：线性无关(其中为常数）.9、答案内容：证明：，.
6、假设，则有线性相关,因而与不能由线性表示矛盾。,线性无关。10、评分细则：由题设中条件推出(2分);假设由题设推出能由线性表示,与题设矛盾(2分）;推出（3分);推出线性无关（1分）。-1、试题序号：3302、题型：证明题3、难度级别：24、知识点：第四章 向量组的线性相关性5、分值：86、所需时间：6分钟7、试题关键字：向量组与矩阵的秩8、试题内容： 设为矩阵，为矩阵，若，证明的列向量组线性无关.9、答案内容：证明:为矩阵，为矩阵，且,为单位矩阵。由矩阵秩的性质，则有。又的列向量组线性无关.10、评分细则：由题设推出（2分）；又有题设中（2分）;（2分）;所以的列向量组线性无关（2分）.-1
7、、试题序号：3312、题型:证明题3、难度级别：44、知识点：第四章 向量组的线性相关性5、分值：86、所需时间：10分钟7、试题关键字：向量组的线性关系与矩阵的秩8、试题内容： 设为个线性无关的维列向量，与均正交,证明：线性相关.9、答案内容：证明：分别与均正交,令，线性相关.10、评分细则：令（1分);由题设中条件推得（2分);（1分）;若(1分）;线性相关(1分）；若(1分)，所以线性相关(1分）.-1、试题序号：3322、题型：证明题3、难度级别:24、知识点：第五章 相似矩阵及二次型5、分值:86、所需时间:6分钟7、试题关键字:正交向量组8、试题内容: 已知阶实矩阵为正交矩阵，为维
8、正交单位向量组，证明:也是维正交单位向量组。9、答案内容:证明:是阶正交矩阵,则有是维正交向量组是正交向量组.10、评分细则：由题设中条件推出（2分)；（2分);且可逆,推得(2分)；推得是正交向量组(2分).-1、试题序号:3332、题型:证明题3、难度级别：44、知识点：第四章 向量组的线性相关性5、分值：86、所需时间：10分钟7、试题关键字：向量组的秩与方程组的解8、试题内容: 设是的一个基础解系，不是的解，证明：线性无关。9、答案内容：证明：假设.这与不是的解矛盾即线性无关.10、评分细则：由题设推出(2分);假设,由题设中条件推出可以由线性表示,与不是的解矛盾(2分）；(2分）；线
9、性无关(2分)。-1、试题序号：3342、题型：证明题3、难度级别:24、知识点：第四章 向量组的线性相关性5、分值：86、所需时间：8分钟7、试题关键字：矩阵的秩与方程组的解8、试题内容： 设为阶矩阵,若只有零解，证明：方程组也只有零解,其中为正整数。9、答案内容：证明:只有零解为阶矩阵, 可逆则即为可逆矩阵只有零解.10、评分细则:由题设推出可逆（3分);推出(2分);推得只有零解（3分）.-1、试题序号:3352、题型：证明题3、难度级别：44、知识点：第四章 向量组的线性相关性5、分值：86、所需时间：10分钟7、试题关键字:向量组的秩，矩阵的秩及方程组的解8、试题内容： 设是矩阵，是
10、矩阵，为矩阵，求证：若可逆且的行向量的转置都是的解，则的每个行向量的转置也都是该方程组的解.9、答案内容：证明：设的行向量组为（I）设的行向量组为（II）则向量组（I）与(II）均为维向量组可逆令，则有 向量组（I）可以由（II）线性表示向量组（II）是的解 向量组(I)也是的解10、评分细则：令的行向量组（I)，的行向量组为(II)（1分）；(2分）;推得，（2分)所以（I)可以由(II）线性表示（2分）;由（II)是的解推出(I）也是的解(1分).-1、试题序号：3362、题型：证明题3、难度级别:24、知识点：第四章 向量组的线性相关性5、分值:86、所需时间：6分钟7、试题关键字：向量组的线性关系与方程组的基础解系8、试题内容： 设非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为，是其导出组的一个基础解系，是的一个解,证明：线性无关.9、答案内容：证明：假设线性相关,是的基础解系，是线性无关的.由以上可得可以由线性表示。则是的解，与是的解矛盾。假设不成立，即线性无关。10、评分细则：假设线性相关,由题设推得可以由线性表示（3分);所以是的解与是的解矛盾(3分);所以线性无关（2分)。-1、试题
