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1、一题多变受益匪浅吴云天老师（13855693718)高中数学教学的最高目标是通过少而精的习题教学,既使学生巩固所学知识,又使学生思维能力、逻辑推理能力、分析问题能力等多方面得到训练、培养与提高。一题多变是实现这一目标，跳出题海的法宝。现举下列三例供各位数学爱好者赏析感悟“一题多变”在中学数学教学中的作用！一、正三角形与等差等比数列之缘分在ABC中，三内角A、B、C所对的边分别为a、b、c。证明：(1) 若A、B、C既成等差数列,又成等比数列,则ABC为正三角形。(2) 若sinA、sinB、sinC既成等差数列,又成等比数列,则ABC为正三角形。(3) 若A、B、C成等差数列,sinA、sin
2、B、sinC成等差数列,则ABC为正三角形。(4) 若A、B、C成等差数列,sinA、sinB、sinC成等比数列,则ABC为正三角形。(5) 若A、B、C成等差数列,、成等差数列,则ABC为正三角形。(6) 若A、B、C成等差数列,、成等差数列,则ABC为正三角形。(7) 若A、B、C成等差数列,sinA、sinB、sinC成等差数列,则ABC为正三角形。(8) 若sinA、sinB、sinC成等差数列,、成等差数列,则ABC为正三角形。(9) 若sinA、sinB、sinC成等比数列,、成等差数列,则ABC为正三角形。(10) 若sinA、sinB、sinC成等差数列,sinA、sinB、
3、sinC成等差数列,则ABC为正三角形。(11) 若sinA、sinB、sinC成等比数列,sinA、sinB、sinC成等差数列,则ABC为正三角形。(12) 若sinA、sinB、sinC成等差数列,、成等差数列,则ABC为正三角形。(13) 若sinA、sinB、sinC成等比数列,、成等差数列,则ABC为正三角形。(14) 若、成等差数列,sinA、sinB、sinC成等差数列,则ABC为正三角形。(15) 若、成等差数列,、成等差数列,则ABC为正三角形。(16) 若sinA、sinB、sinC成等差数列,、成等差数列,则ABC为正三角形。(17) 若sinnA、sinnB、sinn
4、C既成等差数列,又成等比数列,n0,nR,则ABC为正三角形。(18) 若sinnA、sinnB、sinnC成等差数列,、成等差数列,n0,nR,则ABC为正三角形。(19) 若sinA、sinB、sinC成等比数列,、成等差数列,n0,nR,则ABC为正三角形。(20) 若sinnA、sinnB、sinnC成等差数列,sinA、sinB、sinC成等差数列,nnR,则ABC为正三角形。(21) 若sinA、sinB、sinC成等比数列,sinA、sinB、sinC成等差数列,n0,nR,则ABC 为正三角形。(22) 若sinnA、sinnB、sinnC成等差数列,、成等差数列,n0,nR,
5、则ABC为正三角形。(23) 若sinA、sinB、sinC成等比数列,、成等差数列,n0,nR,则ABC为正三角形。(24) 若、成等差数列,sinA、sinB、sinC成等差数列,n0,nR,则ABC为正三角形。(25) 若、成等差数列,、成等差数列,n0,nR,则ABC为正三角形。(26) 若sinA、sinB、sinC成等差数列,、成等差数列,n0,nR,则ABC为正三角形。二、有趣的RtABC中的最值三十题若RtABC的面积为1，求其两直角边之和的最小值；若RtABC的两直角边之和为1，求其面积的最大值；若RtABC的面积为1，求其斜边的最小值；若RtABC的斜边为1，求其面积的最大
6、值；若RtABC的面积为1，求其外接圆半径的最小值；若RtABC的外接圆半径为1，求其面积的最大值；若RtABC的两直角边之和为1，求其斜边的最小值；若RtABC的斜边为1，求其两直角边之和的最大值；若RtABC的两直角边之和为1，求其外接圆半径的最小值；若RtABC的外接圆半径为1，求其两直角边之和的最大值；若RtABC的面积为1，求其外接圆半径的最小值；若RtABC的外接圆半径为1，求其面积的最大值；若RtABC的周长为1，求其外接圆半径的最小值；若RtABC的外接圆半径为1，求其周长的最大值；若RtABC的面积为1，求其周长的最小值；若RtABC的周长为1，求其面积的最大值；若RtABC
7、的内切圆半径为1，求其面积的最小值；若RtABC的面积为1，求其内切圆半径的最大值；若RtABC的内切圆半径为1，求其斜边长的最小值；若RtABC的斜边长为1，求其内切圆半径的最大值；若RtABC的内切圆半径为1，求其外接圆半径的最小值；若RtABC的外接圆半径为1，求其内切圆半径的最大值；若RtABC的内切圆半径为1，求其两直角边之和的最小值；若RtABC的两直角边之和为1，求其内切圆半径的最大值； 若RtABC的面积为1，求其外接圆半径与内切圆半径之和的最小值；若直角三角形的外接圆半径与内切圆半径之和为1,求其面积的最大值；求RtABC的外接圆半径与内切圆半径之比的最小值；求RtABC的内
8、切圆半径与外接圆半径之比的最大值；求RtABC的两直角边之和与内切圆半径之比的最小值；求RtABC的内切圆半径与两直角边之和之比的最大值.三、ABC中有关等差等比数列和相关的一些不等关系与范围之缘分【1】在ABC中，三内角A、B、C所对的边分别为a、b、c。无论sinA、sinB、sinC成等差数列或、成等差数列或或;还是a 、b、c成等差数列或、成等差数列或或。都有B。【2】在ABC中，三内角A、B、C所对的边分别为a、b、c。无论sinA、sinB、sinC成等差数列或、成等差数列或cosA、cosB、cosC成等差数列或或或;或;还是a 、b、c成等差数列或、成等差数列或或或。都有B。【
9、3】在ABC中，三内角A、B、C所对的边分别为a、b、c。无论sinA、sinB、sinC成等比数列或、成等比数列或;还是a 、b、c成等比数列或、成等比数列或。都有B。【4】在ABC中，三内角A、B、C所对的边分别为a、b、c。无论sinA、sinB、sinC成等比数列或、成等比数列或;还是a 、b、c成等比数列或、成等比数列或。都有B。何谓“一题多变”?简言之，就是在一道题的基础上通过改变部分条件或数字从而行成一个新的数学问题，通过一题多变可以使学生很好的掌握与本题相关或相似的一系列数学问题，能很好的以一道题为载体解决多个或多类数学问题，并且有利于学生发现各种类似问题的联系和差异，从而掌握
10、和消化多个数学问题。通过一题多变的练习不仅能使学生很好的掌握数学知识及其内在联系，而且可以让学生通过有限的训练达到掌握多个数学问题的目的。因此，一题多变是让学生跳出题海不可多得的法宝。 “一题多变”的作用在于:在平时的数学教学过程中实施一题多变的训练, 可以提高学生学习数学的积极性, 增强 学习数学的兴趣:1、新课中,实施一题多变,以简单题入手由浅入深,可使大部分学生对当堂课内容产生兴趣。2、习题课中,把较难题改成多变题目,让学生找到突破口,对难题也产生兴趣。3、学生自己能够将题目中的问题或某一条件改变,对知识进行重组,自己将题目中的问题或某一条件进行改变, 对已学知识进行重组, 探索出新知识, 解决新问题。不就题论题, 能多思多变。在完成一个数学题的解答时,有必要对该题的内容、形式、条件、结论,做进一步的探讨, 以真正掌握该题所反映的问题的实质。 如果能对一个普通的数学题进行一题多变, 从变中总结解题方法;从变中发现解题规律,从变中发现“不变”,必将使学生受益匪浅。第 页
