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1、中学课程复习专题数学集合与函数专题一、集合相关概念1、集合中元素的特性 元素的确定性：组成集合的元素必需是确定的。 元素的互异性：集合中不得有重复的元素。 元素的无序性：集合中元素的排列不遵循某种依次，是随意排列的。2、集合的表示方法 列举法：将集合中元素一一列出。 描述法：将集合中元素的公共属性用语言描述出来。 解析法：用解析式的方式描述出集合元素的公共属性。 图示法：用韦恩图直观的画出集合中的元素。3、集中特别数集的表示方法 自然数集： N 正整数集：N+ 整数集：Z 有理数集：Q 实数集：R 空集：二、集合间的基本关系子集与真子集1、自反性任何一个集合都是它本身的子集：AA。2、假如AB
2、 且 AB，则，A是B的真子集。3、传递性：假如AB，BC，则AC。4、假如AB且BA，则A=B。5、空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。6、有n 个元素的集合，有 2n 个子集，有2n-1 个真子集。三、集合间的运算运算类型交集并集补集定义由全部属于集合A且属于集合B的元素组成的集合称为A和B的交集（AB）。即AB=xxA且xB由全部属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A和B的并集（AB）。即AB=xxA或xB设S是一个集合，A是S的一个子集，由S中不属于A的元素组成的集合称为S中A的补集（CSA）。即CSA = xxS且xA 图示性质AA=AA=AB=BAABAABBA
3、A=AA=AAB=BAAABBABCSA CSB= CS（AB）CSACSB= CS（AB）ACSA=SACSA=四、函数的相关概念 1、函数：设A、B为非空集合，假如依据某个特定的对应关系f，使对于集合A中的随意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，则就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数，写作y=f(x)，xA，其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合B=f(x)xA 叫做函数的值域。 2、函数定义域的解题思路： 若x处于分母位置，则分母x不能为0。 偶次方根的被开方数不小于0。 对数式的真数必需大于0。 指数对数式的
4、底，不得为1，且必需大于0。 指数为0时，底数不得为0。 假如函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，则，它的定义域是各个部分都有意义的x值组成的集合。 实际问题中的函数的定义域还要保证明际问题有意义。3、相同函数 表达式相同：与表示自变量和函数值的字母无关。 定义域一样，对应法则一样。4、函数值域的求法 视察法：适用于初等函数及一些简洁的由初等函数通过四则运算得到的函数。 图像法：适用于易于画出函数图像的函数已经分段函数。 配方法：主要用于二次函数，配方成 y=(x-a)2 +b 的形式。 代换法：主要用于由已知值域的函数推想未知函数的值域。5、函数图像的变换 平移变换：在x轴上的变换在
5、x上就行加减，在y轴上的变换在y上进行加减。 伸缩变换：在x前加上系数。 对称变换：中学阶段不作要求。6、映射：设A、B是两个非空集合，假如按某一个确定的对应法则f，使对于A中的随意仪的元素x，在集合B中都有唯一的确定的y与之对应，则就称对应f：AB为从集合A到集合B的映射。 集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的。 集合A中的不同元素，在集合B中对应的象可以是同一个。 不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。7、分段函数 在定义域的不同部分上有不同的解析式表达式。 各部分自变量和函数值的取值范围不同。 分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集。8、复合函
6、数：假如（uM），u=g(x) （xA）,则，y=fg(x)=F(x) （xA），称为f、g的复合函数。五、函数的性质 1、函数的局部性质单调性 设函数y=f(x)的定义域为I，假如对应定义域I内的某个区间D内的随意两个变量x1、x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，则y=f(x)在区间D上是增函数，D是函数y=f(x)的单调递增区间；当x1f(x2)，则则y=f(x)在区间D上是减函数，D是函数y=f(x)的单调递减区间。 函数区间单调性的推断思路 在给出区间内任取x1、x2，则x1、x2D，且x10时，顶点为最小值，a0时的最大值或a1，nN+） 负数没有偶次方根。 0的任何次方根
7、都是0。当n为奇数时=a ，当n是偶数时= a 分数指数幂 = （a0，m、nN+，n1） 负指数幂 = （a0，m、nN+，n1） 0的正分数指数幂为0,0的负指数幂没有意义。 实数指数幂的运算性质ar as = ar+s (a0，r、sR)(ar)s = ars (a0，r、sR)(ab)r = arbr (a、b0，rR) 2、对数的性质 对数：假如ax=N (a0，a1)，则，x叫做以a为底N的对数，记住：logaN=x，其中a为底数，N为真数。 留意底数a的取值范围：a0且a1。 常数对数：以10为底的对数 lgN； 自然对数：以e=2.71828为底的对数lnN。 对数的运算性质：
8、假如a0且a1，M0，N0loga(MN)=logaM + logaNloga=logaM logaN logaMn = nlogaM (NR) 对数的换底公式 logab = logcb / logca (a0且a1,c0且c1，b0) 则 = logab = 1/ logba七、基本初等函数 1、指数函数：函数y=ax (a0且a1)叫做指数函数a 的取值a10a1时，最小值f(a)，最大值f(b)；0a0且a1)，都有f(1)=a。 2、对数函数：函数y=logax(a0且a1)，叫做对数函数a 的取值a10a0时，幂函数图像过原点，且在(0，+)区间为增函数，a越大，图像坡度越大。 a0时，幂函数在(0，+)区间为减函数。 当x从右侧无限接近原点时，图像无限接近y轴正半轴； 当y无限接近正无穷时，图像无限接近x轴正半轴。 幂函数总图见下页。 4、反函数：将原函数y=f(x)的x和y互换即得其反函数x=f-1(y)。 反函数图像与原函数图像关于直线y=x对称。幂函数总图
