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1、 24小时咨询热线：4006 500 666 010-82330666 反三角函数的概念和性质一基本知识：1正确理解反三角函数的定义，把握三角函数与反三角函数的之间的反函数关系；2掌握反三角函数的定义域和值域，yarcsinx, x1, 1, y，, yarccosx, x1, 1, y0, , 在反三角函数中，定义域和值域的作用更为明显，在研究问题时，一定要先看清楚变量的取值范围；3符号arcsinx可以理解为，上的一个角或弧，也可以理解为区间，上的一个实数；同样符号arccosx可以理解为0，上的一个角或弧，也可以理解为区间0，上的一个实数；4yarcsinx等价于sinyx, y，, y
2、arccosx等价于cosyx, x0, , 这两个等价关系是解反三角函数问题的主要依据；5注意恒等式sin(arcsinx)x, x1, 1 , cos(arccosx)x, x1, 1, arcsin(sinx)x, x，, arccos(cosx)x, x0, 的运用的条件；6掌握反三角函数的奇偶性、增减性的判断，大多数情况下，可以与相应的三角函数的图象及性质结合起来理解和应用；7注意恒等式arcsinxarccosx, arctgxarcctgx的应用。例一下列各式中成立的是（C）。（A）arcctg(1) （B）arccos() （C）sinarcsin() （D）arctg(tg)
3、解：(A)(B)中都是值域出现了问题，即arcctg(1)(0, ), arccos()0, ,(D)中，arctg(tg), , 而，, (A)(B)(D)都不正确。例二下列函数中，存在反函数的是（D）。（A）ysinx, x, 0 （B）ysinx, x, （C）ysinx, x, （D）ysinx, x,解：本题是判断函数ysinx在哪个区间上是单调函数，由于ysinx在区间,上是单调递减函数， 所以选D。例三 arcsin(sin10)等于（C）。（A）210 （B）102 （C）310 （D）103解：本题是判断哪个角度的正弦值与sin10相等，且该角度在, 上。由于sin(310)
4、sin(10)sin10, 且310, , 所以选C。例四求出下列函数的反函数，并求其定义域和值域。（1）f (x)2sin2x, x, ;（2）f (x)arccos2x.解：(1) x, , 2x, , 2x, , 2y2由y2sin2x, 得sin2x, sin(2x)sin2x, 2xarcsin(), xarcsin, f 1(x)arcsin, 2x2, y, .(2) f (x)arccos2x, x, , y, arccos2xy, 2xcos(y), xcos(y)siny,f 1(x)sinx , x, y, .例五求下列函数的定义域和值域：(1) yarccos; (2)
5、 yarcsin(x2x); (3) yarcctg(2x1),解：(1) yarccos, 01, 0 arcctg(2x1), xR, y(0, ).例六求下列函数的值域：(1) yarccos(sinx), x(, ); (2) yarcsinxarctgx.解：(1) x(, ), sinx(, 1, y0, ).(2) yarcsinxarctgx., x1, 1, 且arcsinx与arctgx都是增函数, arcsinx, arctgx, y,.例七判断下列函数的奇偶性：(1) f (x)xarcsin(sinx); (2) f (x)arcctgx.解：(1) f (x)的定义
6、域是R， f (x)(x)arcsinsin(x)xarcsin(sinx)f (x), f (x)是偶函数;(2) f (x)的定义域是R, f (x)arcctg(x)(arcctgx)arcctgxf (x), f (x)是奇函数.例八作函数yarcsin(sinx), x, 的图象.解：yarcsin(sinx), x, , 得, 图象略。例九比较arcsin, arctg, arccos()的大小。解：arcsin, arctg, arccos()最大,设arcsin，sin, 设arctg, tg, sinsin, , arctg arcsin arccos().例十解不等式：(1
7、) arcsinx.解：(1) x1, 1, 当x时, arcsinxarccosx, 又arcsinx是增函数,arccosx是减函数， 当x1, )时, arcsinx, arcsinxarcsin, arcsinx是增函数, 0 （B）arcctgx0 （C）arcsinx0 （D）arctgx02定义在(, )上的减函数是（D）。（A）yarcsinx （B）yarccosx （C）yarctgx （D）yarcctgx3不等式arcsinx的解集是. 4不等式arccosx的解集是.四试题精选：(一) 选择题：1cos(arccos)的值是（D）。（A） （B） （C）cos （D）
8、不存在2已知arcsinx1，那么x的范围是（C）。（A）sin1x （B）sinxx （C）sin1x1 （D）3已知yarcsinxarctg|x| (1x1)， 那么这个函数（A）。（A）是奇函数 （B）是偶函数 （C）既是奇函数又是偶函数 （D）非奇非偶函数4若aarcsin(), barcctg(), carccos()，则a, b, c的大小关系是（B）。（A）abc （B）acb （C）cab （D）cba5已知tgx, x(, )，则x（C）。（A）arctg()（B）arctg()（C）arctg()（D）6函数f (x)2arccos(x2)的反函数是（D）。（A）y(co
9、sx2) (0x) （B）y cos(x2) (0x2) （C）y cos(2) (0x) （D）y cos2 (0x2)7若arccosx1，则x的取值范围是（D）。（A）1, 1 （B）1, 0 （C）0, 1 （D）1, arccos18函数yarccos(sinx) (x)的值域是（B）。（A）(, ) （B）0, （C）(, ) （D）,9已知x1, 0，则下列等式成立的是（B）。（A）arcsinarccosx （B）arcsinarccosx （C）arccosarcsinx （D）arccosarcsinx10直线2xy30的倾斜角等于（C）。（A）arctg2 （B）arct
10、g(2) （C）arctg2 （D）arctg(2)(二) 填空题：11若cos ()，则. (用反余弦表示)12函数y(arcsinx)22arcsinx1的最小值是 2 .13函数y2sin2x (x, )的反函数是.14函数yarcsin的定义域是 x1或x3 ，值域是15用反正切表示直线axya0 (a0)的倾斜角为(三) 解答题：16求下列函数的反函数：(1) y3cos2x, x, 0; (2) yarccosx2 (0x1).解：(1) x, 0, 2x, 0, 函数y3cos2x在定义域内是单值函数.且3y3. 2x0, , y3cos2x3cos(2x), cos(2x),
11、2xarccos, xarccos,y3cos2x, x, 0的反函数是yarccos, 3x3.(2) 0x1, y, arccosx2y, x2cos(y), x, 原函数的反函数是y, x.17求函数y(arccosx)23arccosx的最值及相应的x的值。解：函数y(arccosx)23arccosx, x1, 1, arccosx0, 设arccosxt, 0t, yt23t(t)2, 当t时,即xcos时, 函数取得最小值，当t时,即x1时，函数取得最大值23.18若f (arccosx)x24x, 求f (x)的最值及相应的x的值。解：设arccosxt, t0, , xcost, 代入得f (t)cos2t4cost, f (x)cos2x4cosx, x0, , cosx1, 1, f (x)(cosx2)24, 当cosx1时,即x时，函数取得最
