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1、 课题用导数研究函数的教学说明- “简中求道”的教学思想的课堂实践 江苏省靖江高级中学 朱占奎 第一方面 背景介绍2011年11月11号，我和另外两位特级教师，以“用导数研究函数”为题，在江苏省震泽中学进行了一次“同课异构”，授课对象是震泽中学的高二理科班学生.1 教材分析“二次函数”是高中数学的核心内容，贯穿高中数学的始终.对学生而言，“二次函数”从初三开始接触，高中学习数学、甚至学习物理时，它一直伴随左右，可以说“二次函数”是学生是最熟悉的，从而也感到简单.而导数工具用起来简单，同时也是解决函数问题的较为统一的平台，教学中要尽可能地让学生对这些有所体悟.2 学情分析在本课前，学生已经学习了
2、“导数的概念”，会用导数研究“函数的单调性、极值等性质”，因此，本节课是阶段性小结复习课.3 教情分析由于是借班上课，因此学情研究得不够深入，课上我主要通过与学生的对话，实时地观察、分析学情，在动态的变化之中及时调整自己的教学方式.作为我的课题“简中求道：高中数学教育思想的研究”的一次实践，本课我“中规中矩”，没有将它上成“示范课”，而上成“常态课”，仍然沿用我自己平时采用的“对话形式”上课，这对我来说也简单些. 4 教学模式 “提出问题解决问题生成新的问题再解决问题生成新的问题”的模式，问题力求是在符合学生的认知水平的基础上的，是通过简单变式生成的.5 教学目标 1） 理解导数研究函数的单调
3、性、极值、最值、零点以及两个函数图象的公共点等问题的联系与区别，会用导数工具的研究函数. 2） 通过由一个问题入手，从变式中提出问题，以“简”为视角，经历“零次函数”、“一次函数”、“二次函数”、“三次函数”和“对数函数”在导数平台上的转化过程，探索函数的性质的统一求解方法. 3） 在提出问题、解决问题过程中，体悟“数学的简”、“过程中的简”和“心灵中的简”. 第二方面 教学简录情境引入 播放自己的火炬传递照片，同时，加以简单的说明：如果将火炬看成一个点，在传递过程中，就形成了优美的曲线，形成了激动的场面，汇成了和谐的整体.正因为有一张照片，说明就生动具体，学生体悟到图象的重要.接着生成问题1
4、.问题1 画出函数的大致图象. 简录 原始方法：列表、描点和连线； 性质法： 利用抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标和单调性等性质画图； 导数法： 利用刚学习的导数研究函数的性质再画图，对函数求导得到一次函数，再借助一次函数研究二次函数. 总结 原始方法操作虽简单，但取那些点，对于二次函数来说，由于学生熟悉，知道其性质，而对于复杂的函数，就必须研究能研究性质的工具，生成课题问题2 用导数研究函数的图象. 上面可以知道用一次函数的可以研究二次函数的图象，你用函数可以研究哪些函数的图象？总结 研究三次函数是常数的等函数的图象，并总结画图象中主要研究函数的单调性，从而生成问题3.问题3 用导数研究函
5、数的单调性 子问题1 ，讨论函数的单调性. 简录 ，转化成讨论二次函数在正实数集上的正、负和零，问题解决就方便了.进而通过加一个参数简单变式，生成子问题2.子问题2 ，讨论函数的单调性.简录 ，学生得出三种思路：1) 换元，令，解二次不等式得到.2) 去分母，转化成解二次不等式问题.3) 通分，同样转化成解二次不等式问题. 接着将结论作为条件，简单变式，生成子问题3.子问题3 在上单调，求实数的取值范围. 总结 借助导数工具，研究比原函数简单的二次函数，并且是针对二次函数的简单的正、负研究，因此研究起来简单.同时比较自然联想到正与负的边界“零”生成问题4.问题4 用导数研究函数值的边界（极值、
6、最值、值域）求函数在上的最值.由于，因此只要研究已经已经的二次函数.总结：利用导函数的正、负和零将原函数要研究的区间分成几个单调区间，最值就简单了.由于最值和极值都是函数值的边界，比较自然的联想对于函数值定了，自变量究竟有多少个.生成问题5 问题5 用导数研究函数的零点，方程的公共点的个数.子问题1 已知函数和函数，如果函数的图象在上恰有两个公共点，求实数的取值范围.结合问题4，利用函数的图象，得出解答，在此基础上，加个字母，简单变式生成子问题2.子问题2 已知函数和函数，如果函数的图象在上恰有三个公共点，求实数的取值范围. 总结：公共点问题可以转化成函数的零点问题，可以结合图象研究，有了图象
7、，比较自然地联想到与导数的零点有关的切线问题，生成问题6. 问题6 用导数研究函数图象的切线. 思考 研究过点的直线与函数的图象的公共点的个数. 总结 回归到一开始的函数问题.第三方面 简录剖析1 简单的内容由于本节课的知识目标定位是“用导数研究函数的思想方法总结”，因此选用处于配角地位的载体时力求尽可能简单，选择的都是一些与二次函数有关的内容.选用的内容从直观上看，其实都很简单，相互之间也有联系：如果函数是“零次的” 图象是“水平的”；“将水平的倾斜一下”，函数成了“一次的”；再将图象“转弯一次”，函数就成了“二次的”；“转弯俩次”，函数则为“部分的三次的”等等.2 简洁的情境首先，我用自己
8、传递火炬的照片作为情境引入，因为这是身边的真实图形，它很直观明了，容易让学生进入探索的状态.同时，由于火炬传递是动态的，如果将火炬看成“点”，“点”连成“线”就自然了，这为后继的“描点”、“连线”、“画图”打下伏笔.其次，始终用二次函数作为知识的载体和问题的线索，自然地与一次的、零次的、三次的等函数形成了知识链，学生在这一条清晰的知识链牵引下，学习起来简单，知识再现时也容易.3 简单的模式依托知识间的联系，采用“提出问题解决问题生成新的问题再解决问题生成新的问题”的模式.这样的教学设计，比较简单，只需将重点放在“生成新问题后，如何设问、将问题引向教学的核心”.我们知道，如果载体复杂，往往会冲淡
9、主题而不能突出教学的重点.因此，本课尽可能围绕“二次函数”展开，尽量少地使用其它函数载体，从而为突出“用导数研究函数”这一重点腾出了时空.师生在解决问题中一起归纳出“如何用导数研究函数”.尽可能在短短的45分钟里让学生整体地、全局地把握其本质.4 简单的文化在宽松的、民主的课堂气氛下，让每一位学生一直有效地思考着.尊重学生、尽量顺着学生的思路、让学生在对话中获得知识、提升能力、释放情感、增长智慧.语言也简单，由于本节课是阶段性小结复习课，因此对于每一个问题，小结虽是必须的，但尽可能要简明.5 简单的“道”（1） 沿着符合学生认知的“道”.教学过程中，由于采用“提出问题解决问题生成新的问题再解决问题生成新的问题”的模式，而问题的提出，问题的解决，问题的生成的过程中学生都是主体，因此课堂交流融洽，学生十分投入，正因为.（2） 学生探索“用导数研究函数”的“道”.由于整个课堂都是围绕“二次函数”这一简单的载体，这样学生的主要精力花在探讨“如何用导数研究函数”的上，学生一直在“探索、发现、应用和总结”规律，而这些规律就是数学的“道”.（3） 学生在“再简单些”的视角下，在“简”的氛围中，体悟“数学大道”。1
