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1、 2024年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数 学本试卷分为第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟第卷1至3页，第卷4至6页答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回祝各位考生考试顺利！第卷（选择题）注意事项：1每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号2本卷共9小题，每小题5分，共45分参考公式：如果事件互斥，那么如果事件相互独立，那么球的体积公式，其中表
2、示球的半径圆锥的体积公式，其中表示圆锥的底面面积，表示圆锥的高一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 集合，则（ ）A. B. C. D. 2. 设，则“”是“”（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 下列图中，相关性系数最大的是（ ）A. B. C. D. 4. 下列函数是偶函数的是（ ）A. B. C. D. 5. 若，则的大小关系为（ ）A. B. C. D. 6. 若为两条不同的直线，为一个平面，则下列结论中正确的是（ ）A 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则与相交7. 已知函数的最小正周期为则函数
3、在的最小值是（ ）A. B. C. 0D. 8. 双曲线的左、右焦点分别为是双曲线右支上一点，且直线的斜率为2是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为（ ）A. B. C. D. 9. 一个五面体已知，且两两之间距离为1并已知则该五面体的体积为（ ）A. B. C. D. 第卷注意事项：1用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上2本卷共11小题，共105分二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分10. 已知是虚数单位，复数_11. 在展开式中，常数项为_12. 的圆心与抛物线的焦点重合，为两曲线的交点，则原点到直线的距离为_13.
4、 五种活动，甲、乙都要选择三个活动参加.（1）甲选到的概率为_；已知乙选了活动，他再选择活动的概率为_14. 在边长为1的正方形中，点为线段的三等分点， ，则_；若为线段上的动点，为中点，则的最小值为_15. 若函数有唯一零点，则取值范围为_三、解答题：本大题共5小题，共75分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16. 在中，（1）求；（2）求；（3）求17. 已知四棱柱中，底面为梯形，平面，其中是的中点，是的中点 （1）求证平面；（2）求平面与平面的夹角余弦值；（3）求点到平面的距离18. 已知椭圆椭圆的离心率左顶点为，下顶点为是线段的中点，其中（1）求椭圆方程（2）过点的动直线与椭圆有两
5、个交点在轴上是否存在点使得恒成立若存在求出这个点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由19. 已知数列是公比大于0的等比数列其前项和为若（1）求数列前项和；（2）设，其中是大于1的正整数（）当时，求证：；（）求20. 设函数（1）求图象上点处的切线方程；（2）若在时恒成立，求取值范围；（3）若，证明2024年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数 学本试卷分为第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟第卷1至3页，第卷4至6页答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷
6、上的无效考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回祝各位考生考试顺利！第卷（选择题）注意事项：1每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号2本卷共9小题，每小题5分，共45分参考公式：如果事件互斥，那么如果事件相互独立，那么球的体积公式，其中表示球的半径圆锥的体积公式，其中表示圆锥的底面面积，表示圆锥的高一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据集合交集的概念直接求解即可.【详解】因为集合，所以，故选：B2. 设，则“”是“”的（ ）A. 充分不必要
7、条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】说明二者与同一个命题等价，再得到二者等价，即是充分必要条件.【详解】根据立方的性质和指数函数的性质，和都当且仅当，所以二者互为充要条件.故选：C.3. 下列图中，相关性系数最大的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由点的分布特征可直接判断【详解】观察4幅图可知，A图散点分布比较集中，且大体接近某一条直线，线性回归模型拟合效果比较好，呈现明显的正相关，值相比于其他3图更接近1.故选：A4. 下列函数是偶函数的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据偶函数的判定方法
8、一一判断即可.【详解】对A，设，函数定义域为，但，则，故A错误；对B，设，函数定义域为，且，则为偶函数，故B正确；对C，设，函数定义域为，不关于原点对称， 则不是偶函数，故C错误；对D，设，函数定义域为，因为，则，则不是偶函数，故D错误.故选：B.5. 若，则的大小关系为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用指数函数和对数函数的单调性分析判断即可.【详解】因为在上递增，且，所以，所以，即，因为在上递增，且，所以，即，所以，故选：B6. 若为两条不同的直线，为一个平面，则下列结论中正确的是（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则与相交【答案】C【解析】【分析】
9、根据线面平行的性质可判断AB的正误，根据线面垂直的性质可判断CD的正误.【详解】对于A，若，则平行或异面，故A错误.对于B，若，则平行或异面或相交，故B错误.对于C，过作平面，使得，因为，故，而，故，故，故C正确. 对于D，若，则与相交或异面，故D错误.故选：C.7. 已知函数的最小正周期为则函数在的最小值是（ ）A. B. C. 0D. 【答案】A【解析】【分析】先由诱导公式化简，结合周期公式求出，得，再整体求出时，的范围，结合正弦三角函数图象特征即可求解.【详解】，由得，即，当时，画出图象，如下图，由图可知，在上递减，所以，当时，故选：A8. 双曲线的左、右焦点分别为是双曲线右支上一点，且
10、直线的斜率为2是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】可利用三边斜率问题与正弦定理，转化出三边比例，设，由面积公式求出，由勾股定理得出，结合第一定义再求出.【详解】如下图：由题可知，点必落在第四象限，设，由，求得，因为，所以，求得，即，由正弦定理可得：，则由得，由得，则，由双曲线第一定义可得：，所以双曲线的方程为.故选：C9. 一个五面体已知，且两两之间距离为1并已知则该五面体的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】采用补形法，补成一个棱柱，求出其直截面，再利用体积公式即可.【详解】用一个完全相同的五面体（顶点与五
11、面体一一对应）与该五面体相嵌，使得；;重合，因为，且两两之间距离为1，则形成的新组合体为一个三棱柱，该三棱柱的直截面（与侧棱垂直的截面）为边长为1的等边三角形，侧棱长为，.故选：C.第卷注意事项：1用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上2本卷共11小题，共105分二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分10. 已知是虚数单位，复数_【答案】【解析】【分析】借助复数的乘法运算法则计算即可得.【详解】.故答案为：.11. 在的展开式中，常数项为_【答案】20【解析】【分析】根据题意结合二项展开式的通项分析求解即可.【详解】因为的展开
12、式的通项为，令，可得，所以常数项为.故答案为：20.12. 的圆心与抛物线的焦点重合，为两曲线的交点，则原点到直线的距离为_【答案】#【解析】【分析】先求出圆心坐标，从而可求焦准距，再联立圆和抛物线方程，求及的方程，从而可求原点到直线的距离.【详解】圆的圆心为，故即，由可得，故或（舍），故，故直线即或，故原点到直线的距离为，故答案为：13. 五种活动，甲、乙都要选择三个活动参加.（1）甲选到的概率为_；已知乙选了活动，他再选择活动的概率为_【答案】 . . 【解析】【分析】结合列举法或组合公式和概率公式可求甲选到的概率；采用列举法或者条件概率公式可求乙选了活动，他再选择活动的概率.【详解】解法
13、一：列举法从五个活动中选三个的情况有：,共10种情况，其中甲选到有6种可能性：，则甲选到得概率为：；乙选活动有6种可能性：，其中再选则有3种可能性：，故乙选了活动，他再选择活动的概率为.解法二：设甲、乙选到为事件，乙选到为事件，则甲选到的概率为； 乙选了活动，他再选择活动的概率为故答案为：；14. 在边长为1的正方形中，点为线段的三等分点， ，则_；若为线段上的动点，为中点，则的最小值为_【答案】 . . 【解析】【分析】解法一：以为基底向量，根据向量的线性运算求，即可得，设，求，结合数量积的运算律求的最小值；解法二：建系标点，根据向量的坐标运算求，即可得，设，求，结合数量积的坐标运算求的最小值.【详解】解法一：因为，即，则，可得，所以；由题意可知：，因为为线段上的动点，设，则，又因为为中点，则，可得，又因为，可知：当时，取到最小值；解法二：以B为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示，则，可得，因为，则，所以；因为点在线段上，设，且为中点，则，可得，则，且，所以当时，取到最小值为；故答案为：；.15. 若函数有唯一零点，则的取值范围为_【答案】【解析】【分析】结合函数零点与两函数的交点的关系，构造函数与，则两函数图象有唯一交点，分、与进行讨论，当时，计算函数定义域可得或，计算可得时，两函数在轴左侧有一交点
