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1、第四节 因动点产生的平行四边形问题例1 上海市松江区中考如图1，已知抛物线yx2bxc经过A(0, 1)、B(4, 3)两点 （1）求抛物线的解析式；（2）求tanABO的值；（3）过点B作BCx轴，垂足为C，在对称轴的左侧且平行于y轴的直线交线段AB于点N，交抛物线于点M，若四边形MNCB为平行四边形，求点M的坐标图1 思路点拨1第（2）题求ABO的正切值，要构造包含锐角ABO的角直角三角形2第（3）题解方程MNyMyNBC，并且检验x的值是否在对称轴左侧满分解答（1）将A(0, 1)、B(4, 3)分别代入yx2bxc，得 解得，c1所以抛物线的解析式是（2）在RtBOC中，OC4，BC3
2、，所以OB5如图2，过点A作AHOB，垂足为H在RtAOH中，OA1，所以 图2所以， 在RtABH中，（3）直线AB的解析式为设点M的坐标为，点N的坐标为，那么当四边形MNCB是平行四边形时，MNBC3解方程x24x3，得x1或x3因为x3在对称轴的右侧（如图4），所以符合题意的点M的坐标为（如图3）图3 图4考点伸展第（3）题如果改为：点M是抛物线上的一个点，直线MN平行于y轴交直线AB于N，如果M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形，求点M的坐标那么求点M的坐标要考虑两种情况：MNyMyN或MNyNyM由yNyM4xx2，解方程x24x3，得（如图5）所以符合题意的点M有4个：，图5例
3、2 福州市中考第21题如图1，在RtABC中，C90，AC6，BC8，动点P从点A开始沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD/BC，交AB于点D，联结PQ点P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动的时间为t秒（t0）（1）直接用含t的代数式分别表示：QB_，PD_；（2）是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由，并探究如何改变点Q的速度（匀速运动），使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点Q的速度；（3）如图2，在整个运动过程中，求出线段PQ
4、的中点M所经过的路径长图1 图2思路点拨1菱形PDBQ必须符合两个条件，点P在ABC的平分线上，PQ/AB先求出点P运动的时间t，再根据PQ/AB，对应线段成比例求CQ的长，从而求出点Q的速度2探究点M的路径，可以先取两个极端值画线段，再验证这条线段是不是点M的路径满分解答（1）QB82t，PD（2）如图3，作ABC的平分线交CA于P，过点P作PQ/AB交BC于Q，那么四边形PDBQ是菱形过点P作PEAB，垂足为E，那么BEBC8在RtABC中，AC6，BC8，所以AB10 图3在RtAPE中，所以当PQ/AB时，即解得所以点Q的运动速度为（3）以C为原点建立直角坐标系如图4，当t0时，PQ的
5、中点就是AC的中点E(3，0)如图5，当t4时，PQ的中点就是PB的中点F(1，4)直线EF的解析式是y2x6如图6，PQ的中点M的坐标可以表示为（，t）经验证，点M（，t）在直线EF上所以PQ的中点M的运动路径长就是线段EF的长，EF图4 图5 图6考点伸展第（3）题求点M的运动路径还有一种通用的方法是设二次函数：当t2时，PQ的中点为(2，2)设点M的运动路径的解析式为yax2bxc，代入E(3，0)、F(1，4)和(2，2)，得 解得a0，b2，c6所以点M的运动路径的解析式为y2x6例3 烟台市中考第26题如图1，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B(1, 0)、C(3,
6、0)、D(3, 4)以A为顶点的抛物线yax2bxc过点C动点P从点A出发，沿线段AB向点B运动，同时动点Q从点C出发，沿线段CD向点D运动点P、Q的运动速度均为每秒1个单位，运动时间为t秒过点P作PEAB交AC于点E（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；（2）过点E作EFAD于F，交抛物线于点G，当t为何值时，ACG的面积最大？最大值为多少？（3）在动点P、Q运动的过程中，当t为何值时，在矩形ABCD内（包括边界）存在点H，使以C、Q、E、H为顶点的四边形为菱形？请直接写出t的值思路点拨1把ACG分割成以GE为公共底边的两个三角形，高的和等于AD2用含有t的式子把图形中能够表示的线
7、段和点的坐标都表示出来3构造以C、Q、E、H为顶点的平行四边形，再用邻边相等列方程验证菱形是否存在满分解答（1）A(1, 4)因为抛物线的顶点为A，设抛物线的解析式为ya(x1)24，代入点C(3, 0)，可得a1所以抛物线的解析式为y(x1)24x22x3（2）因为PE/BC，所以因此所以点E的横坐标为将代入抛物线的解析式，y(x1)24所以点G的纵坐标为于是得到因此所以当t1时，ACG面积的最大值为1（3）或考点伸展第（3）题的解题思路是这样的：因为FE/QC，FEQC，所以四边形FECQ是平行四边形再构造点F关于PE轴对称的点H，那么四边形EHCQ也是平行四边形再根据FQCQ列关于t的方
8、程，检验四边形FECQ是否为菱形，根据EQCQ列关于t的方程，检验四边形EHCQ是否为菱形，如图2，当FQCQ时，FQ2CQ2，因此整理，得解得，（舍去）如图3，当EQCQ时，EQ2CQ2，因此整理，得所以，（舍去）图2 图3【2013浙江温州24题】如图，在平面直角坐标系轴，直线AB与x轴、y轴分别交于点A（6，0）、B（0，8），点C的坐标为（0，m），过点C作CEAB于点E，点D为x轴上一动点，连接CD、DE，以CD、DE为边作平行四边形CDEF。（1）当0m8时，求CE的长（用含m的代数式表示）；（2）当m=3时，是否存在点D，使平行四边形CDEF的顶点F恰好落在y轴上？若存在，求出点
9、D的坐标；若不存在，请说明理由；（3）点D在整个运动过程中，若存在唯一的位置，使得平行四边形CDEF为矩形，请求出所有满足条件的m的值。4解：（1）CEAB BEC=BOA=90CEB=ABOBECAOB OA=6，OB=8，OC=mAB=10，CB=8-mCE=(8-m)（2）存在。m=3 CB=5，CE=3 BE=4F在y轴上 DEOB OD=点D坐标为（，0）（3）当0m8时，以CE为直径作P，当P与x轴相切于点D时，平行四边形CDEF为矩形，如图a。此时，PC=PD=CE=(8-m)过点P作PQy轴于Q，易证得PQCBOA CQ=(8-m)OQ=OC+CQ=m+(8-m)易证四边形OD
10、PQ为矩形，则OQ=PD=PCm+(8-m)=(8-m)，得m= 当m8时，OQPC，不存在满足条件的m。 当m=0时，点C与点O重合，如图b，显然满足条件。 当m0，且点E与点A重合时，以CE为直径作P必过点O，当点D与点O重合时，平行四边形CDEF为矩形，如图c。BAC=90，AOBCOA2=OBOC(射影定理) OC=m=- 当m0，且点E与点A不重合时，当P与x轴相切于点D时，平行四边形CDEF为矩形，如图d。与同理可得，CQ=(8-m)，OC=-mOQ=OC-CQ=-m-(8-m)OQ=PD=PC -m-(8-m)=(8-m)解得m=综上所述，m=或0或-或【2013浙江义乌24题】
11、如图1，已知y=(x0)图象上一点P，PAx轴于点A（a，0），点B坐标为（0，b）（b0），动点M是y轴正半轴上B点上方的点，动点N在射线AP上，过点B作AB的垂线，交射线AP于点D，交直线MN于点Q，连接AQ，取AQ的中点为C。（1）如图2，连接BP，求PAB的面积；（2）当点Q在线段BD上时，若四边形BQNC时菱形，面积为2，求此时P点的坐标；（3）当点Q在射线BD上时，且a=3，b=1，若以点B、C、N、Q为顶点的四边形是平行四边形，求这个平行四边形的周长。解：（1）由题意可得，OA=a，AP=SPAB=APOA=a=3（2）DBAB ABQ=90C是AQ的中点 BC=CQ=AC四边形
12、BQNC是菱形BC=BQ=CN=QNBC=BQ=CQ=CN=QNBCQ、NCQ是等边三角形AQB=60 BAQ=30菱形BQNC的面积为2BC=BQ=2，AQ=4 AB=2BQ=NQ，AQB=AQN=60，AQ=AQABQANQNAQ=BAQ=30BAO=30OA=AB=3，即a=3点P在y=图象上，PAx轴点P坐标为（3，2）（3）易证ABDBOA，则OA=3，OB=1 AB=，BD=3 当Q在线段BD上时，如图3a。四边形BCNQ是平行四边形CNQD，CN=BQC是AQ的中点N是AD的中点 CN=QDBQ=(BD-BQ) BQ=BD=AQ=2BC=AQ=CBCNQ=2(BC+BQ)=2+2
13、 当Q在线段BD的延长线上时，如图3b。BC=CQ=AQ平行四边形BCQN是菱形AQ=2CQ=2BNBNAQ DQ=2BDBQ=BD+DQ=3BD=9AQ=2CQ=CBCQN=4CQ=4故，该平行四边形的周长为2+2或4【2013浙江嘉兴&舟山24题】如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=(x-m)2-m2+m的顶点为A，与y轴的交点为B，连结AB，ACAB，交y轴于点C，延长CA到点D，使AD=AC，连结BD。作AEx轴，DEy轴。（1）当m=2时，求点B的坐标；（2）求DE的长？（3）设点D的坐标为（x，y），求y关于x的函数关系式？过点D作AB的平行线，与第(3)题确定的函数图象的另一个交点为P，当m
