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1、综合 题汇 编教师用书图9-1图9-21. 如图9-1，在等边ABC中，ADBC于点D，一个直径与AD相等的圆与BC相切于点E、与AB相切于点F，连接EF . 判断EF与AC的位置关系(不必说明理由)； 如图9-2，过E作BC的垂线，交圆于G，连接AG. 判断四边形ADEG的形状，并说明理由； 求证：AC与GE的交点O为此圆的圆心. 解： EFAC . 1分 四边形ADEG为矩形 . 2分理由：EGBC，E为切点，EG为直径，EG=AD . 3分又ADBC，EGBC，ADEG，即四边形ADEG为矩形 . 4分 连接FG，由可知EG为直径， FGEF，又由可知，EFAC，ACFG，6分又四边形A
2、DEG为矩形，EGAG，则AG是已知圆的切线 . 7分而AB也是已知圆的切线，则AF=AG， AC是FG的垂直平分线，故AC必过圆心，8分因此，圆心O就是AC与EG的交点 . 9分说明：也可据AGOAFO进行说理 .2. 如图10，已知抛物线P：y=ax2+bx+c(a0) 与x轴交于A、B两点(点A在x轴的正半轴上)，与y轴交于点C，矩形DEFG的一条边DE在线段AB上，顶点F、G分别在线段BC、AC上，抛物线P上部分点的横坐标对应的纵坐标如下：x-3-212y-4-0图10(1) 求A、B、C三点的坐标；(2) 若点D的坐标为(m，0)，矩形DEFG的面积为S，求S与m的函数关系，并指出m
3、的取值范围；(3) 当矩形DEFG的面积S取最大值时，连接DF并延长至点M，使FM=kDF，若点M不在抛物线P上，求k的取值范围.解： 解法一：设，任取x,y的三组值代入，求出解析式，1分令y=0，求出；令x=0，得y=-4， A、B、C三点的坐标分别是A(2，0)，B(-4，0)，C(0，-4) . 3分解法二：由抛物线P过点(1，-)，(-3，)可知，抛物线P的对称轴方程为x=-1，1分又 抛物线P过(2，0)、(-2，-4)，则由抛物线的对称性可知，点A、B、C的坐标分别为 A(2，0)，B(-4，0)，C(0，-4) .3分 由题意，而AO=2，OC=4，AD=2-m，故DG=4-2m
4、，4分又 ，EF=DG，得BE=4-2m， DE=3m，5分SDEFG=DGDE=(4-2m) 3m=12m-6m2 (0m2) . 6分注：也可通过解RtBOC及RtAOC，或依据BOC是等腰直角三角形建立关系求解. SDEFG=12m-6m2 (0m2)，m=1时，矩形的面积最大，且最大面积是6 .当矩形面积最大时，其顶点为D(1，0)，G(1，-2)，F(-2，-2)，E(-2，0)，7分设直线DF的解析式为y=kx+b，易知，k=，b=-，又可求得抛物线P的解析式为：， 8分令=，可求出x=. 设射线DF与抛物线P相交于点N，则N的横坐标为，过N作x轴的垂线交x轴于H，有=，9分点M不
5、在抛物线P上，即点M不与N重合时，此时k的取值范围是k且k0. 10分说明：若以上两条件错漏一个，本步不得分.若选择另一问题： ，而AD=1，AO=2，OC=4，则DG=2，4分又， 而AB=6，CP=2，OC=4，则FG=3，SDEFG=DGFG=6.3如图1，在平面直角坐标系中，已知点，点在正半轴上，且动点在线段上从点向点以每秒个单位的速度运动，设运动时间为秒在轴上取两点作等边（1）求直线的解析式；（2）求等边的边长（用的代数式表示），并求出当等边的顶点运动到与原点重合时的值；（3）如果取的中点，以为边在内部作如图2所示的矩形，点在线段上设等边和矩形重叠部分的面积为，请求出当秒时与的函数关
6、系式，并求出的最大值（图1）（图2）解：（1）直线的解析式为：（2）方法一，是等边三角形，（图1），方法二，如图1，过分别作轴于，轴于，（图2）可求得，（图3），当点与点重合时，（3）当时，见图2设交于点，重叠部分为直角梯形，作于，随的增大而增大，当时，当时，见图3设交于点，交于点，交于点，重叠部分为五边形方法一，作于，方法二，由题意可得，再计算 ，（图4），当时，有最大值，当时，即与重合，设交于点，交于点，重叠部分为等腰梯形，见图4，综上所述：当时，；当时，；（第27题）当时，的最大值是4（本小题满分9分）已知，如图，正方形的边长为6，菱形的三个顶点分别在正方形边上，连接（1）当时，求的面积
7、；（2）设，用含的代数式表示的面积；（3）判断的面积能否等于，并说明理由解：（1）正方形中，又，因此，即菱形的边长为在和中，即菱形是正方形同理可以证明因此，即点在边上，同时可得，从而2分（2）作，为垂足，连结，在和中，即无论菱形如何变化，点到直线的距离始终为定值2因此6分（3）若，由，得，此时，在中，相应地，在中，即点已经不在边上故不可能有9分另法：由于点在边上，因此菱形的边长至少为，当菱形的边长为4时，点在边上且满足，此时，当点逐渐向右运动至点时，的长（即菱形的边长）将逐渐变大，最大值为此时，故而函数的值随着的增大而减小，因此，当时，取得最小值为又因为，所以，的面积不可能等于19分5（本小题
8、满分10分）已知与是反比例函数图象上的两个点（1）求的值；（第28题）（2）若点，则在反比例函数图象上是否存在点，使得以四点为顶点的四边形为梯形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由解：（1）由，得，因此2分（2）如图1，作轴，为垂足，则，因此由于点与点的横坐标相同，因此轴，从而当为底时，由于过点且平行于的直线与双曲线只有一个公共点，故不符题意3分当为底时，过点作的平行线，交双曲线于点，过点分别作轴，轴的平行线，交于点由于，设，则，由点，得点因此，解之得（舍去），因此点图2图1此时，与的长度不等，故四边形是梯形5分如图2，当为底时，过点作的平行线，与双曲线在第一象限内的交点为由于，因此，
9、从而作轴，为垂足，则，设，则，由点，得点，因此解之得（舍去），因此点此时，与的长度不相等，故四边形是梯形7分如图3，当过点作的平行线，与双曲线在第三象限内的交点为时，同理可得，点，四边形是梯形9分综上所述，函数图象上存在点，使得以四点为顶点的四边形为梯形，点的坐标为：或或10分图36如图，是以为直径的上一点，于点，过点作的切线，与的延长线相交于点是的中点，连结并延长与相交于点，延长与的延长线相交于点（1）求证：；（2）求证：是的切线；（3）若，且的半径长为，求和的长度（1）证明：是的直径，是的切线，又，易证，ODGCAEFBP是的中点，（2）证明：连结是的直径，ODGCAEFBP在中，由（1）
10、，知是斜边的中点，又，是的切线，是的切线（3）解：过点作于点，由（1），知，由已知，有，即是等腰三角形，即，四边形是矩形，易证，即的半径长为，解得，在中，由勾股定理，得解得（负值舍去）或取的中点，连结，则易证，故，由，易知，由，解得又在中，由勾股定理，得，（舍去负值）7在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与轴交于两点（点在点的左边），与轴交于点，其顶点的横坐标为1，且过点和（1）求此二次函数的表达式；（2）若直线与线段交于点（不与点重合），则是否存在这样的直线，使得以为顶点的三角形与相似？若存在，求出该直线的函数表达式及点的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点是位于该二次函数对称轴右边图象
11、上不与顶点重合的任意一点，试比较锐角与的大小（不必证明），并写出此时点的横坐标的取值范围解：（1）二次函数图象顶点的横坐标为1，且过点和，由解得 此二次函数的表达式为（2）假设存在直线与线段交于点（不与点重合），使得以为顶点的三角形与相似yxBEAOCD在中，令，则由，解得令，得设过点的直线交于点，过点作轴于点点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为要使或，已有，则只需， 或 成立若是，则有 而在中，由勾股定理，得解得（负值舍去）点的坐标为将点的坐标代入中，求得满足条件的直线的函数表达式为或求出直线的函数表达式为，则与直线平行的直线的函数表达式为此时易知，再求出直线的函数表达式为联立求得点的坐标为若
12、是，则有而在中，由勾股定理，得解得（负值舍去）点的坐标为将点的坐标代入中，求得满足条件的直线的函数表达式为xBEAOCP存在直线或与线段交于点（不与点重合），使得以为顶点的三角形与相似，且点的坐标分别为或（3）设过点的直线与该二次函数的图象交于点将点的坐标代入中，求得此直线的函数表达式为设点的坐标为，并代入，得解得（不合题意，舍去）点的坐标为此时，锐角又二次函数的对称轴为，点关于对称轴对称的点的坐标为当时，锐角；当时，锐角；当时，锐角ABCNMPABCNMPABCNMP图241图242图2438（13分）如图241，在中，是边上的动点（不与重合），交于点，关于的对称图形是设（1）用含的式子表示的面积（不必写出过程）；（2）当为何值时，点恰好落在边上；ABCNMP图
