《2024年高考数学真题分类汇编09：函数与导数（含答案解析）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2024年高考数学真题分类汇编09：函数与导数（含答案解析）（33页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、函数与导数一、单选题1（2024全国）已知函数为，在R上单调递增，则a取值的范围是（）ABCD2（2024全国）已知函数为的定义域为R，且当时，则下列结论中一定正确的是（）ABCD3（2024全国）设函数，当时，曲线与恰有一个交点，则（）ABC1D24（2024全国）设函数，若，则的最小值为（）ABCD15（2024全国）曲线在处的切线与坐标轴围成的面积为（）ABCD6（2024全国）函数在区间的大致图像为（）ABCD7（2024全国）设函数，则曲线在处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（）ABCD8（2024北京）已知，是函数图象上不同的两点，则下列正确的是（）ABCD9（2024天津）下
2、列函数是偶函数的是（）ABCD10（2024天津）若，则的大小关系为（）ABCD11（2024上海）下列函数的最小正周期是的是（）ABCD12（2024上海）已知函数的定义域为R，定义集合，在使得的所有中，下列成立的是（）A存在是偶函数B存在在处取最大值C存在是严格增函数D存在在处取到极小值二、多选题13（2024全国）设函数，则（）A是的极小值点B当时，C当时，D当时，14（2024全国）设函数，则（）A当时，有三个零点B当时，是的极大值点C存在a，b，使得为曲线的对称轴D存在a，使得点为曲线的对称中心三、填空题15（2024全国）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则 .16（2024全国）
3、已知，则 17（2024全国）曲线与在上有两个不同的交点，则的取值范围为 18（2024天津）若函数有唯一零点，则的取值范围为 19（2024上海）已知则 四、解答题20（2024全国）已知函数(1)若，且，求的最小值；(2)证明：曲线是中心对称图形；(3)若当且仅当，求的取值范围21（2024全国）已知函数(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围22（2024全国）已知函数(1)求的单调区间；(2)若时，证明：当时，恒成立23（2024全国）已知函数(1)当时，求的极值；(2)当时，恒成立，求的取值范围24（2024北京）已知在处切线为l(1)若切
4、线l的斜率，求单调区间；(2)证明：切线l不经过；(3)已知，其中，切线l与y轴交于点B时当，符合条件的A的个数为？（参考数据：，）25（2024天津）设函数(1)求图象上点处的切线方程；(2)若在时恒成立，求的取值范围；(3)若，证明26（2024上海）若(1)过，求的解集；(2)存在使得成等差数列，求的取值范围27（2024上海）对于一个函数和一个点，令，若是取到最小值的点，则称是在的“最近点”(1)对于，求证：对于点，存在点，使得点是在的“最近点”；(2)对于，请判断是否存在一个点，它是在的“最近点”，且直线与在点处的切线垂直；(3)已知在定义域R上存在导函数，且函数 在定义域R上恒正，
5、设点，若对任意的，存在点同时是在的“最近点”，试判断的单调性参考答案：1B【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可.【解析】因为在上单调递增，且时，单调递增，则需满足，解得，即a的范围是.故选：B.2B【分析】代入得到，再利用函数性质和不等式的性质，逐渐递推即可判断.【解析】因为当时，所以，又因为，则，则依次下去可知，则B正确；且无证据表明ACD一定正确.故选：B.【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用，再利用题目所给的函数性质，代入函数值再结合不等式同向可加性，不断递推即可.3D【分析】解法一：令，分析可知曲线与恰有一个交点，结合偶函数的对称性可知该交点只能在y轴
6、上，即可得，并代入检验即可；解法二：令，可知为偶函数，根据偶函数的对称性可知的零点只能为0，即可得，并代入检验即可.【解析】解法一：令，即，可得，令，原题意等价于当时，曲线与恰有一个交点，注意到均为偶函数，可知该交点只能在y轴上，可得，即，解得，若，令，可得因为，则，当且仅当时，等号成立，可得，当且仅当时，等号成立，则方程有且仅有一个实根0，即曲线与恰有一个交点，所以符合题意；综上所述：.解法二：令，原题意等价于有且仅有一个零点，因为，则为偶函数，根据偶函数的对称性可知的零点只能为0，即，解得，若，则，又因为当且仅当时，等号成立，可得，当且仅当时，等号成立，即有且仅有一个零点0，所以符合题意；
7、故选：D.4C【分析】解法一：由题意可知：的定义域为，分类讨论与的大小关系，结合符号分析判断，即可得，代入可得最值；解法二：根据对数函数的性质分析的符号，进而可得的符号，即可得，代入可得最值.【解析】解法一：由题意可知：的定义域为，令解得；令解得；若，当时，可知，此时，不合题意；若，当时，可知，此时，不合题意；若，当时，可知，此时；当时，可知，此时；可知若，符合题意；若，当时，可知，此时，不合题意；综上所述：，即，则，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为；解法二：由题意可知：的定义域为，令解得；令解得；则当时，故，所以；时，故，所以；故， 则，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为.故选：C.【
8、点睛】关键点点睛：分别求、的根，以根和函数定义域为临界，比较大小分类讨论，结合符号性分析判断.5A【分析】先求出切线方程，再求出切线的截距，从而可求面积.【解析】，所以，故切线方程为，故切线的横截距为，纵截距为，故切线与坐标轴围成的面积为故选：A.6B【分析】利用函数的奇偶性可排除A、C，代入可得，可排除D.【解析】，又函数定义域为，故该函数为偶函数，可排除A、C，又，故可排除D.故选：B.7A【分析】借助导数的几何意义计算可得其在点处的切线方程，即可得其与坐标轴交点坐标，即可得其面积.【解析】，则，即该切线方程为，即，令，则，令，则，故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积.故选：A.8A【分析
9、】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式分析判断AB；举例判断CD即可.【解析】由题意不妨设，因为函数是增函数，所以，即，对于选项AB：可得，即，根据函数是增函数，所以，故A正确，B错误；对于选项C：例如，则，可得，即，故C错误；对于选项D：例如，则，可得，即，故D错误，故选：A.9B【分析】根据偶函数的判定方法一一判断即可.【解析】对A，设，函数定义域为，但，则，故A错误；对B，设，函数定义域为，且，则为偶函数，故B正确；对C，设，函数定义域为，不关于原点对称， 则不是偶函数，故C错误；对D，设，函数定义域为，因为，则，则不是偶函数，故D错误.故选：B.10B【分析】利用指数函数和对数
10、函数的单调性分析判断即可.【解析】因为在上递增，且，所以，所以，即，因为在上递增，且，所以，即，所以，故选：B11A【分析】根据辅助角公式、二倍角公式以及同角三角函数关系并结合三角函数的性质一一判断即可 .【解析】对A，周期，故A正确；对B，周期，故B错误；对于选项C，是常值函数，不存在最小正周期，故C错误；对于选项D，周期，故D错误，故选：A12B【分析】对于ACD利用反证法并结合函数奇偶性、单调性以及极小值的概念即可判断，对于B，构造函数即可判断.【解析】对于A，若存在 是偶函数, 取 ,则对于任意 , 而 , 矛盾, 故 A 错误；对于B，可构造函数满足集合，当时，则，当时，当时，则该函
11、数的最大值是，则B正确；对C，假设存在，使得严格递增，则，与已知矛盾，则C错误；对D，假设存在，使得在处取极小值，则在的左侧附近存在，使得，这与已知集合的定义矛盾，故D错误；故选：B.13ACD【分析】求出函数的导数，得到极值点，即可判断A；利用函数的单调性可判断B；根据函数在上的值域即可判断C；直接作差可判断D.【解析】对A，因为函数的定义域为R，而，易知当时，当或时，函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故是函数的极小值点，正确；对B，当时，所以，而由上可知，函数在上单调递增，所以，错误；对C，当时，而由上可知，函数在上单调递减，所以，即，正确；对D，当时，所以，正确；故选：ACD
12、.14AD【分析】A选项，先分析出函数的极值点为，根据零点存在定理和极值的符号判断出在上各有一个零点；B选项，根据极值和导函数符号的关系进行分析；C选项，假设存在这样的，使得为的对称轴，则为恒等式，据此计算判断；D选项，若存在这样的，使得为的对称中心，则，据此进行计算判断，亦可利用拐点结论直接求解.【解析】A选项，由于，故时，故在上单调递增，时，单调递减，则在处取到极大值，在处取到极小值，由，则，根据零点存在定理在上有一个零点，又，则，则在上各有一个零点，于是时，有三个零点，A选项正确；B选项，时，单调递减，时，单调递增，此时在处取到极小值，B选项错误；C选项，假设存在这样的，使得为的对称轴，
13、即存在这样的使得，即，根据二项式定理，等式右边展开式含有的项为，于是等式左右两边的系数都不相等，原等式不可能恒成立，于是不存在这样的，使得为的对称轴，C选项错误；D选项，方法一：利用对称中心的表达式化简，若存在这样的，使得为的对称中心，则，事实上，于是即，解得，即存在使得是的对称中心，D选项正确.方法二：直接利用拐点结论任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点，由，于是该三次函数的对称中心为，由题意也是对称中心，故，即存在使得是的对称中心，D选项正确.故选：AD【点睛】结论点睛：（1）的对称轴为；（2）关于对称；（3）任何三次函数都有对称中心，对称中心是三次函数的拐点，对称中心的横坐标是的解，即是三次函数的对称中心15【分析】先求出曲线在的切线方程，再设曲线的切点为，求出，利用公切线斜率相等求出，表示出切线方程，结合两切线方程相同即可求解.【解析】由得，故曲线在处的切线方程为；由得，设切线与曲线相切的切点为，由两曲线有公切线得，解得，则切点为，切线方程为，根据两切线重合,所以，解得.故答案为：1664【分析】将利用换底公式转化成来表示即可求解.【解析】由题，整理得，或，又，所以，故故答案为：64.17【分析】将函数转化为方程，令
