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1、数学精品教学资料第二部分 题型研究题型五 几何探究题类型三折叠问题针对演练1. 如图，已知一个直角三角形纸片ACB，其中ACB90，AC4，BC3，E、F分别是AC、AB边上的点，连接EF.(1)如图，若将纸片ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在AB边上的点D处，且使S四边形ECBF3SEDF，求AE的长；(2)如图，若将纸片ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在BC边上的点M处，且使MFCA.试判断四边形AEMF的形状，并证明你的结论；求EF的长第1题图2. (2017山西)背景阅读早在三千多年前，我国周朝数学家商高就提出：将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即
2、“勾三，股四，弦五”它被记载于我国古代著名数学著作周髀算经中为了方便，在本题中，我们把三边的比为345的三角形称为(3，4，5)型三角形例如：三边长分别为9，12，15或3，4，5的三角形就是(3，4，5)型三角形用矩形纸片按下面的操作方法可以折出这种类型的三角形实践操作如图，在矩形纸片ABCD中，AD8 cm，AB12 cm.第一步：如图，将图中的矩形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使点D落在AB上的点E处，折痕为AF，再沿EF折叠，然后把纸片展平第二步：如图，将图中的矩形纸片再次折叠，使点D与点F重合，折痕为GH，然后展平，隐去AF.第三步：如图，将图中的矩形纸片沿AH折叠，得到ADH，再
3、沿AD折叠，折痕为AM，AM与折痕EF交于点N，然后展平第2题图问题解决(1)请在图中证明四边形AEFD是正方形；(2)请在图中判断NF与ND的数量关系，并加以证明；(3)请在图中证明AEN是(3，4，5)型三角形；探索发现(4)在不添加字母的情况下，图中还有哪些三角形是(3，4，5)型三角形？请找出并直接写出它们的名称3. 问题探究(1)如图，边长为4的等边OAB位于平面直角坐标系中，将OAB折叠，使点B落在OA的中点处，则折痕长为_；(2)如图，矩形OABC位于平面直角坐标系中，其中OA8，AB6，将矩形沿线段MN折叠，点B落在x轴上，其中ANAB，求折痕MN的长；问题解决：(3)如图，四
4、边形OABC位于平面直角坐标系中，其中OAAB6，CB4，BCOA，ABOA于点A，点Q(4，3)为四边形内部一点，将四边形折叠，使点B落在x轴上，问是否存在过点Q的折痕，若存在，求出折痕长，若不存在，请说明理由第3题图答案1. 解：(1)如解图，折叠后点A落在AB边上的点D处，第1题解图EFAB，AEFDEF.SAEFSDEF.S四边形ECBF3SEDF，S四边形ECBF3SAEF.SACBSAEFS四边形ECBF，SACBSAEF3SAEF4SAEF.EAFBAC，AFEACB90，AEFABC.()2.()2.在RtACB中，ACB90，AC4，BC3，AB2AC2BC2，即AB5；()
5、2，AE，(2)四边形AEMF是菱形证明：如解图，折叠后点A落在BC边上的点M处，CABEMF，AEME，又MFCA，CEMEMF，CABCEM，EMAF，四边形AEMF是平平四边形，而AEME，四边形AEMF是菱形，连接AM，与EF交于点O，如解图，设AEx，则AEMEx，EC4x，第1题解图CEMCAB，ECMACB90，RtECMRtACB，AB5，解得x.AEME，EC.在RtECM中，ECM90，CM2EM2EC2.即CM，四边形AEMF是菱形，OEOF，OAOM，AMEF，S菱形AEMF4SAOE2OEAO，在RtAOE和RtACM中，tanEAOtanCAM，CM，AC4，AO3
6、OE，S菱形AEMF6OE2，又S菱形AEMFAECM，6OE2，解得OE，EF2OE.2. (1)证明：四边形ABCD是矩形，DDAE90，由折叠知：AEAD，AEFD90，DDAEAEF90，四边形AEFD是矩形，AEAD，矩形AEFD是正方形；(2)解：NFND；证明：如解图，连接HN，第2题解图由折叠知：ADHD90，HFHDHD.四边形AEFD是正方形，EFD90，ADH90，HDN90，在RtHNF和RtHND中，RtHNFRtHND(HL)，NFND；(3)解：四边形AEFD是正方形，AEEFAD8 cm，由折叠知：ADAD8 cm，设NFx cm，则NDx cm，在RtAEN中
7、，由勾股定理得AN2AE2EN2，即(8x)282(8x)2，解得x2，AN10 cm，EN6 cm，ENAEAN6810345，AEN是(3，4，5)型三角形；(4)解：MFN，MDH，MDA.【解法提示】HDAM，DHMHMD90，HMFN，FNMHMD90，ADDM，DAMHMD90，DAMFNMDHM，MFNMDHMDA.ABCD，ABFM，MFNAEN.而AEN是(3，4，5)型三角形，MFN、MDH、MDA都是(3，4，5)型三角形3. 解：(1)2；【解法提示】如解图，B的对称点B，折痕为MN，连接BB，BN，MN交BB于H.第3题解图ABO是等边三角形，OBBA，BBOA，又B
8、BMN，MNOA，BHHB，BMOM，BNNA，MN是ABC的中位线，MNOA42；(2)如解图，B的对称点B，折痕为MN，MN交BB于点H.第3题解图ANAB2，NBNB4，在RtANB中，AB2，OB82，B(82，0)，B(8，6)，BB中点H(8，3)，点N坐标(8，2)，设直线NH解析式为ykxb，代入N、H两点坐标得，解得.直线NH解析式为yx2，点M坐标(0，2)，MN；(3)存在理由：如解图中，延长BQ交OA于B，连接AQ，过点Q作MNOA，交OC于M，交AB于N.第3题解图Q(4，3)，N(6，3)，BNAN，QBQB，作BB的垂直平分线PF，交OC于P，交AB于F，此时B、B关于直线PF对称，满足条件，在RtABB中，BAB90，BQQB，AQQB，此时B、A关于直线MN对称，满足条件C(2，6)，直线OC解析式为y3x，NMOA，BNNA，CMOM，点M(1，3)，MN5B(6，6)，B(2，0)，直线BB的解析式为y x3，过点Q垂直BB的直线PF的解析式为yx ，由，解得，点P(， )，F(6， )，PF， 综上所述，折痕的长为5或.中小学数学精品学习资料中小学数学精品学习资料
