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1、全等三角形及三角形全等的条件教学目的1、掌握全等三角形对应边相等、对应角相等的性质，并能进行简单的推理计算。2、理解并掌握三角形全等的判定定理，能准确找到判定定理的条件，并熟练运用。教学内容、课前检测1 .如图（1）, ABC 中，AB=AC , AD 平分/ BAC,则2 .斜边和一锐角对应相等的两直角三角形全等的根据是,底边和腰相等的两个等腰三角形全等的根据是3.已知 ABCA DEF , DEF 的周长为 32 cm,DE=9 cm,EF=12 cm 贝U AB= AC =,BC=4.5.图（2）图（3）要使 ABCA DCB还需知道的一个条件是图（1）如图（2）, AC=BD,如图(3
2、),若/ 1 = /2, /C=/D,则4ADB06.7 - ABC 和 DEF 中，AB=DE, / A=Z D,不能确定两个三角形全等的条件是（A.三边对应相等C.两角和任一边对应相等）B.两边及其夹角相等D.三个角对应相等若 ABCA DEF还需要 （A. / B=Z EB. / C=Z FC.8 -在 ABC 和 A B C中 AB=A/C=/C,则下列哪组条件不能保证AC=DFB，D.前三种情况都可以 BC=B CA.具备B.具备ABgM B CC.具备 AC=A C / A=/A / B=/B( )D.具备参考答案：1 , AADB5. ACB AAS 6 - ADC 2.ASA(
3、或 AAS) SSS 3. 9 cmD 7 - D 8 - A12 cm 11 cm 4. / ACB= / DBC 或 AB=CD二、知识梳理知识要点:要点1：全等三角形的概念及其性质(1)(2)全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形 全等三角形性质：对应边相等、对应角相等、周长相等、面积相等要点2:全等三角形的判定(1)两边及夹角对应相等 SAG(2)两角及夹边对应相等 ASA;(3)两角及其中一角的对边对应相等AAS，(4)三边对就应相等 SSS要点3:找全等三角形的对应边，对应角的方法(1)若给出对应顶点即可找出对应边和对应角。(2)若给出一些对应边或对应角，则按照对
4、应边所对的角是对应角，反之，对应角所对的边是对应边就可找出其他几组对应边和对应角。(3)按照两对对应边所夹的角是对应角，两对对应角所夹的边是对应边来准确找出对应角和对应边。(4) 一般情况下，在两个全等三角形中，公共边、公共角、对顶角等往往是对应边，对应角。要点4:寻找两个三角形全等的途径(1)三角形全等的判定是这个单元的重点，也是平面几何的重点夹边相等3副)有两组对应角相等时；找.I任一组对边相等(AAS)，夹角相等65坳有两组对应边相等时；找;第三边相等岱客S?有一个对角是直角印L夹等角的另一组边相等(SAS)有一边，一邻角相等时；找有一边，一对角相等时；找任一组角相等( AAS(2)利用
5、两个三角形的公共边或公共角寻找对应关系，推得新的等量元素如图(一)中的 AD,图(二)中的BC都是相应三角形的公共元素。图(三)中如有 BF=CE利用公有的线段 FC就可推出BC=EE图(四)中若有/ DAB=/ EAG 就能推出/ DAC=/ BAE(-)IT(三)三、例题讲解：例 1.如图， A,F,E,B 四点共线，AC_lCE, BD_LDF, AE=BF, AC = BD。求证： AACF 三 ABDE。.思路分析：从结论 MCF =BDE入手，全等条彳只有 AC =BD ；由AE = BF两边同时减去 EF得到AF = BE , 又得到一个全等条件。还缺少一个全等条件，可以是 CF
6、 =DE ,也可以是2A=NB。由条件 AC ICE , BD 1DF 可得 NACE =NBDF = 90,再力口上 AE = BF , AC =BD ,可以证明 MCE三ABDF ,从而得到/A = /B。解答过程：v AC ICE , BD _LDF .ACE =. BDF =90；在 RtMCE 与 RtABDF 中AE =BF . AC = BDRt . ACE 三 Rt . BDF (HL)/A ZBAE =BF二 AE -EF =BF -EF ,即 AF =BE 在MCF与组DE中AF 二 BEZA/B AC =BDACF 三 BDE(SAS)解题后的思考：本题的分析方法实际上是
7、“两头凑”的思想方法：一方面从问题或结论入手，看还需要什么条 件；另一方面从条件入手，看可以得出什么结论。再对比“所需条件”和“得出结论”之间是否吻合或具有明显的 联系，从而得出解题思路。小结：本题不仅告诉我们如何去寻找全等三角形及其全等条件，而且告诉我们如何去分析一个题目，得出解题思路 例2.如图，在 MBC中，BE是/ ABC 的平分线，AD1BE ,垂足为D。求证：2 =/1 +NC 。BC思路分析：直接证明N2 =/1 +ZC比较困难，我们可以间接证明，即找到 N” ,证明/2=/a且/u =21+NC。 也可以看成将2 2 “转移”到Not。那么Na在哪里呢？角的对称性提示我们将AD
8、延长交BC于F ,则构造了 FBD ,可以通过证明三角形全等来证明/ 2=/DFB,可以由三角形外角定理得/DFB=/1 + /C。解答过程：延长 AD交BC于F在ZABD与ZFBD中 I/ABD =./FBDIBD =BDJ /ADB - . FDB =901ABD 三：FBD (ASA . . 2 =/DFB, Z2 =/1 +/C。又- - . DFB u/1 . C解题后的思考：由于角是轴对称图形，所以我们可以利用翻折来构造或发现全等三角形。例3.如图，在 MBC中，AB =BC , /ABC =90。F为AB延长线上一点，点E在BC上，BE = BF ,连接AE,EF和CF 。求证:
9、AE =CF 。思路分析：可以利用全等三角形来证明这两条线段相等,关键是要找到这两个三角形。 以线段AE为边的AABE绕点B顺时针旋转90：到ACBF的位置，而线段 CF正好是ACBF的边，故只要证明它们全等即可。解答过程：: /ABC =90、F为AB延长线上一点/ABC ZCBF =90；在MBE与iCBF中AB =BC- /ABC ZCBFBE =BF-ABE 三. CBF (SAS)二 AE =CF o解题后的思考：利用旋转的观点，不但有利于寻找全等三角形，而且有利于找对应边和对应角。小结：利用三角形全等证明线段或角相等是重要的方法，但有时不容易找到需证明的三角形。这时我们就可以 根据
10、需要利用平移、翻折和旋转等图形变换的观点来寻找或利用辅助线构造全等三角形。例4.如图，D是 MBC的边BC上的点，且CD=AB, ZADB=/BAD, AE是 MBD的中线。求证：AC=2AE。J/4一A/|J/DC*/iBedcf思路分析：要证明 AC=2AE，不 使 EF =AE。解答过程：延长AE至点F ,使EF在ZABE与ZiFDE中Ae =fe:/AEB=/FEDBE =DE二 欣BE 二 AFDE (SAS), ZB =ZEDF丁 ZADF =/ADB +/EDF , /AD( 又：ZADB =/BAD, ZADF =/ADC ：AB=DF, AB=CD ，DF =DC在MDF与M
11、DC中ad =ad V/ADF =/ADC tDF =DC, MDF =MDC (SAS), AF =AC又：AF =2AE, AC =2AE o解题后的思考：三角形中倍长中线，- 线平行。四、课堂练习一、选择题：1 .能使两个直角三角形全等的条件是A.两直角边对应相等C.两锐角对应相等2 .根据卜列条件，能画出唯一 &ABC卧A AB =3 BC =4 CA=8 .C. /C=6o /B=45，AB =访构造出一条等于 2AE的线段，然后证其等于 AC。因此，延长 AE至F , 二=AE ,连接 DF3 =/BAD +/B可以构造全等三角形，继而得出一些线段和角相等，甚至可以证明两条直()8
12、. 一锐角对应相等D.斜边相等是()9. AB=4, BC=3, /A = 30”4 D. /C =90，AB =63 .如图，已知/1=/2 , AC =AD ,增加下列条件: 其中能使 MBC三MED的条件有（） AB=AE ； BC =ED ；/C=/D ；/B=/E。（第3题）（第4题）（第5题）（第6题）4 .如图，已知 AB=CD, BC=AD, /B = 23，则 / D 等于（）A. 67：B. 46：C. 23D.无法确定二、填空题：5 .如图，在 AABC 中，/C=90, /ABC 的平分线 BD 交 AC 于点 D ,且 CD : AD = 2:3 , AC=10cm,
13、 则点D到AB的距离等于 cm；6 .将一张正方形纸片按如图的方式折叠，BC, BD为折痕，则NCBD的大小为三、解答题：7 .如图，MBC为等边三角形，点M ,N分别在BC,AC上，且BM =CN , AM与BN交于Q点。求/ AQN 的度数。8 .如图，NACB=90, AC=BC, D 为 AB上一点，AE _L CD , BF _L CD ,交 CD 延长线于 F 点。求证:BF =CE 。9.如图，已知 AEAD, AFAB, AF=AB,AE=AD=BC , AD/BC.求证：(1) AC=EF , (2) AC EF10.已知：如图，在 RtAABC 中，AB=AC , / BAC=90 , /1 = /2, CEXBD 的延长线于 E.求证：BD=2CE.A、选择题:I. A2, C3. B4. C二、填空题：5. 46. 90三、解答题：7,解：AABC为等边三角形J. AB=BC, NABC=NC=60在 MBM与ABCN中AB =BC丁 UABC =BM =CNABM 三 BCN (SAS) NBC = BAMAQN -ABQ BAM =ABQNBC =60、8.证明：,: AE -LCD , BF -LCDF =/AEC -90：ACE CAE = 90：ACB =90：ACE BCF = 90CAE = BCF 在MCE与ACBF
