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1、第1章随机事件及其概率（1）排列组合公式m!Pn-“从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。m（mn）!m!Cn-7从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。mn!（mn）!（2）加法和乘法原理加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方法可由n种方法来完成，则这件事可由m+n种方法来完成。乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：mXn某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n种方法来完成，则这件事可由mXn种方法来完成。（3）一些常见排列重复排列和非重复排列（有序）对立事件（至少有一个）顺序问题（4）随机试验和随机事
2、件如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。试验的可能结果称为随机事件。（5）基本事件、样本空间和事件在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质： 每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件； 任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用,来表示。基本事件的全体，称为试验的样本空间，用。表示。一个事件就是由。中的部分点（基本事件,）组成的集合。通常用大写字母A，B，C，表示事件，它们是。的子集。为必然事件，0为不可能
3、事件。不可能事件（0）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Q）的概率为1,而概率为1的事件也不一定是必然事件。（6）事件的关系与运算关系：如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，（A发生必有事件B发生）：AB如果同时有AB，BA，则称事件A与事件B等价，或称A等于B：A=B。A、B中至少有一个发生的事件：AB，或者A+B。属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A与B的差，记为AB,也可表示为AAB或者AB，它表示A发生而B不发生的事件。A、B同时发生：AB，或者AB。AB=0，则表示A与B不可能同时发生，称事件A与事件B互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。2
4、011-1-1-A称为事件A的逆事件，或称A的对立事件，记为A。它表示A不发生的事件。互斥未必对立。运算：结合率：A(BC)=(AB)CAU(BUC)=(AUB)UC分配率：(AB)UC=(AUC)n(BUC)(AUB)nC=(AC)U(BC)何Ai，a德摩根率：i，1i,1AUB，AnB,AnB，AUB(7)概率的公理化定义设为样本空间，A为事件，对每一个事件A都有一个实数P(A),若满足下列三个条件：1OWP(A)W1,2P(Q)=13对于两两互不相容的事件A1，A2，有PUA.，艺P(A.)i=1丿i=1常称为可列(完全)可加性。则称P(A)为事件A的概率。(8)古典概型1=to，(，1
5、2n2P(o)=P(o)=P(o)=-。12nn设任一事件A，它是由o,o组成的，则有c12mP(A)=Xo)U(o)U，U(o)0,则称召J为事件A发生条件下，事P(A)件B发生的条件概率，记为P(B/A)=兽?。P(A)2011-1-1条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。例如P(Q/B)=1P(B/A)=1-P(B/A)(13)乘法公式乘法公式：P(AB)=P(A)P(B/A)更一般地，对事件*y，若酗虫叫-1)0,则有P(A1A2An)二P(A1)P(A21A1)P(A31A1A2)P(An1A1A2An，1)。(14)独立性 两个事件的独立性设事件A、B满足P(AB)
6、二P(A)P(B),则称事件A、B是相互独立的。若事件A、B相互独立，且P(A)0，则有P(BIA)二P(AB)=P(A)P(叽P(B)P(A)P(A)若事件A、B相互独立，则可得到A与B、A与B、A与B也都相互独立。必然事件和不可能事件0与任何事件都相互独立。0与任何事件都互斥。 多个事件的独立性设ABC是三个事件，如果满足两两独立的条件，P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A)并且同时满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C)那么A、B、C相互独立。对于n个事件类似。(15)全概公式设事件Bi,B2,，Bn满足1B1,B2，Bn两两互不相容，
7、P(Bi)0(i1,2,n)，AuUb.i2i=i，则有P(A)二P(B1)P(AIB1)+P(B2)P(AIB2)+P(B“)P(AIB“)。(16)贝叶斯公式设事件B1，B2，Bn及A满足1B1，B2，Bn两两互不相容，P(Bi)0，1-1，2,，“，AuUB.2.P(A)02i=1，则/P(B)P(A/B)P(B/A)=ii，i=1，2，口。1工P(B)P(A/B)jj此公式即为贝叶斯公式。P(B)，(i=1，2，n)，通常叫先验概率。P(B/A)，(i=1，2，iin)，通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了“由果朔因”的推断。(17)伯努利概型我们作了n次试验
8、，且满足每次试验只有两种可能结果，A发生或A不发生；2011-1-1 n次试验是重复进行的，即A发生的概率每次均一样； 每次试验是独立的，即每次试验A发生与否与其他次试验A发生与否是互不影响的。这种试验称为伯努利概型，或称为n重伯努利试验。用P表示每次试验A发生的概率，则A发生的概率为1P一q，用Pn伙)表示n重伯努利试验中A出现k(,k,n)次的概率，Pn(k)Ckpkqn-kk0,1,2,-,nn，。第二章随机变量及其分布(1)离散型随机变量的分布律设离散型随机变量X的可能取值为X(k=l,2,)且取各个值的概率，即事k件(X=Xk)的概率为kP(X=x)=p，k=l,2,，kk则称上式为
9、离散型随机变量X的概率分布或分布律。有时也用分布列的形式给出：XIX1，x2,，xk，P(X=xk)P1，p2,，Pk，。显然分布律应满足下列条件：KPk1(1)pk-，k1,2,，(2)k1。(2)连续型随机变量的分布密度设F(x)是随机变量X的分布函数，若存在非负函数f(x)，对任意实数x，有F(x)=Jxf(x)dx，则称X为连续型随机变量。f(x)称为X的概率密度函数或密度函数，简称概率密度。密度函数具有下面4个性质：广f(x)丄OPf(x)dx=12。(3)离散与连续型随机变量的关系P(X=x)P(xX,x+dx)f(x)dx积分元f(x)dx在连续型随机变量理论中所起的作用与P(X
10、=xk)=pk在离散型随机变量理论中所起的作用相类似。2011-1-1(4)分布函数设X为随机变量，x是任意实数，则函数F(x)=P(Xx)称为随机变量X的分布函数，本质上是一个累积函数。P(aXb)=F(b)F(a)可以得到X落入区间(a,b的概率。分布函数F(x)表示随机变量落入区间(-,x内的概率。分布函数具有如下性质：10F(x)1,x+；2F(x)是单调不减的函数，即x1x2时，有F(x1)F(x2)；3F(一)=limF(x)=0，F(+)=limF(x)=1；xT-xT+4F(x+0)=F(x)，即F(x)是右连续的；5P(X=x)=F(x)F(x0)。对于离散型随机变量，F(x
11、)二工p；kxxk对于连续型随机变量，F(x)=ff(x)dx。(5)八大分布0-1分布P(X=l)=p,P(X=0)=q二项分布在n重贝努里试验中，设事件A发生的概率为p。事件A发生的次数是随机变量，设为X，则X可能取值为0,1,2,n。P(X=k)=P(k)=Ckpkqn-k，其中nnq=1，p,0p0，k，0,1,2，k!则称随机变量X服从参数为的泊松分布，记为X()或者卩()。泊松分布为二项分布的极限分布(np=入，nfg)。超几何分布CkCn-kk，0,1,2,lP(Xk)N-M,Cnl，min(M,n)N随机变量X服从参数为n,N,M的超几何分布，记为H(n,N,M)。几何分布P(
12、X，k)，qk-1p,k，1,2,3,，其中p三0,q=l-p。随机变量X服从参数为p的几何分布，记为G(p)。均匀分布设随机变量X的值只落在a,b内，其密度函数f(x)在a,b1上为常数7，即b一a1aWxWbf(x)，b-a，1。，其他，则称随机变量X在a,b上服从均匀分布，记为XU(a,b)o分布函数为0,xva,x一aJb-aaWxWbF(x)，Jxf(x)dx，“1,xbo当aWXx2Wb时，X落在区间(XX2)内的概率为x-xP(xXx)一o12b-a1概率论与数理统计公式（全）2011-1-1指数分布1概率论与数理统计公式（全）f(x)I0，其中九0，则称随机变量X服从参数为九的指数分布。X的分布函数为记住积分公式:x”0xv0。1概率论与数理统计公式（全）Jxne-xdx，n!正态分布0设随机变量X的密度函数为1（x卩）2f（x），.e-2。2，sx0为常数，则称随机变量X服从参数为卩、。的正态分布或高斯（Gauss）分布，记为XN（卩Q?）。f（x）具有如下性质：1f（x）的图形是关于x对称的；2当x=卩时，f（卩），为最大值；若XN（严2），则的分布函数为F（x），Jxe2。2dt2n。参数=0、。=1时的正态
