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1、清华大学2016年暑期学校测试真题1. 已知且，则的取值范围是 .【答案】 【解析】根据题意，有，于是的取值范围是.2. 在锐角中，则的面积是 .【答案】【解析】解法一：由正弦定理可得，其中R为外接圆半径，于是，从而根据余弦定理，解得（此时B为钝角，舍去）或.因此的面积.解法二：根据正弦定理，于是，其余同解法一.3. 已知椭圆的左、右焦点分别为，过点作直线与椭圆交于A，C两点，直线的斜率为1，过点作直线与椭圆交于B，D两点，且，则四边形的面积是 .【答案】【解析】由焦点弦长公式，可得四边形的面积其中.4. 在正方体的底面内有一点，且，则的最大值是 .【答案】【解析】作平面，如下页图，根据题意，
2、点在线段上运动.于是,当位于的中点时取得等号，因此所求的最大值为.5. 已知集合,则 .【答案】-9【解析】根据题意，于是，从而由韦达定理得，于是.6. 圆心为点的单位圆沿轴正向滚动，初始时刻点的坐标为，当圆心运动到时，点的坐标为 .【答案】【解析】先考虑旋转，则整个圆顺时针旋转了，于是点旋转到点；再考虑平移，可得7. 已知等差数列的前项和为，且，则 .【答案】-2121【解析】根据题意，关于的方程有两个实数根和，考虑到形如，因此由可得，.备注：一般地，若等差数列的前项和满足且，则.8. 数列满足，已知的通项可以表示成的形式，则数列通项的一个表达试为 .【答案】【解析】根据题意，有于是考虑周期
3、为3，对应，由得解得，取，于是可取.9. 定义，且.集合，集合.(1) 求，.(2) 设为集合的元素个数，求的最小值.【解析】(1)根据的定义，有,.(2)设集合中有个元素既不在中也不在中，个元素只在集合中，个元素只在集合中，个元素同时在集合,中，如图.则当,时等号成立，即，且时可取到最小值，也可以直接取，因此所求的最小值为2016.10. 已知，自变量、相位、函数值的部分取值如下表3(1) 求的解析式；(2) 求的单调递增区间；(3) 求在内的所有零点.【解析】(1)根据题意，也即.(2)函数的单调递增区间为.(3)函数的零点形如，或，解得其在内的所有零点为.11. 已知圆，为圆与轴的两个不同的交点，是圆在点处的切线，为圆上不与重合的点，过点的切线交于两点，与交于点.(1) 求与之间的数量关系；(2) 存在一点且，使得的最小值是，求的值.【解析】(1)如图，设在轴上的投影为，则由梯形的性质可得其对角线的交点为线段的中点.因此与之间的数量关系为.(2)根据题意，由于，因此只有解得.12. 已知直线为曲线在点处的切线.(1) 求直线的方程(2) 求证：当时，直线除切点外恒在的上方.【解析】(1)记，则的导函数，于是切线方程为.(2)只需要证明当时，有，也即.因此只需要证明.即.这显然成立，因此原命题得证.本文档由华夏园教育提供9
