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1、新高二数学联赛班暑期第1讲平几变换(一)第 1 讲平几变换（一）几何变换事实上已经属于高等几何的范围，波及到现代的数学工具和思想用变换的思想来观察平几问题，能够让从前显得神奇莫测的“增添协助线”变得理所自然，并且会获得好多更深刻的结论，这自然对我们证明问题帮助极大 本讲和下一讲我们将一同来研究一些常用的几何变换，除了上述的三种变换，还有位似变换，反演变换（* ），配极变换（* ）以及上述常用变换复合而成的复合变换，比如位似旋转变换等等. 后边两种变换中，反演变换只会在冬令营及其以上赛事顶用到，而配极变换一般来说只有国家队级别才会波及到. 因此，暑期班中我们不会波及到后二者. 有兴趣的同学能够自
2、行阅读有关参照书 .学习几何变换以后，我们会从一个崭新的角度来剖析问题，比如两个同向相像三角形，在变换的角度下我们以为是此中一个三角形绕平面某点作位似旋转变换而获得另一三角形 . 同时，某种特定的几何变换可能还会有许多优秀的性质， 比如保角性， 特定线保持平行等等 . 这些性质对我们证题的帮助很大 .关于增添协助线，大家学完后会发现，基本上绝大多数协助线的增添从实质而言就是结构某种特定的几何变换，进而实现条件的齐集. / 高中数学联赛课程暑期班第 1 讲学生版11.1 平移经典精讲【例 1】 设 P 是平行四边形ABCD 内部一点，且 APBCPD 180 ，求证： CBPPDC DCPAB【
3、例 2】 设 P 是平行四边形ABCD 的内部一点，若ABP2ADP ，DCP2 DAP ，求证： ABBPCP DCPAB【例 3】 设 D 、 E 是ABC 的边 BC 上两点，且 BDEC ，BADEAC ，求证：ABC 是一个等腰三角形ABDEC【例 4】 在ABC 中，B 内的旁切圆与为 BC 和 DE 的中点，求证：直线CA 相切于MN 均分D ，C 内的旁切圆与ABC 的周长，且与AB相切于 E，MA 的均分线平行和 N分别GAFNDE1.2 对称高中数学联赛课程暑期班第 1 讲学生版3经典精讲【例 5】 设 N 为BAC 的均分线上的一点，点P 和点 O 分别在直线 AB 和
4、AN 上，此中ANPAPO90 ，点 Q 在线段 NP 上，过点 Q 任作向来线分别交AB 、 AC 于点 E 、 F ，求证：OQE90 当且仅当 QEQF AFPQNEOBC【例6】在ABC 中， AD 为A 的均分线， CE 为 AB 边上的高， 已知CDA 45 ，求BED 的度数【例 7】 设四边形 ABCD内接于圆，另一圆的圆心在AB 上，且与四边形的其他三边相切求证： AD BCAB CDAOB【例 8】 证明蝴蝶定理：设一圆的圆心O 在已知直线 l 上的射影为M ，过 M 任作圆的两条割线AB 、CD 交圆于 A 、 B 、 C 、 D ，再设直线AD 、 C 分别与直线 l
5、交于 P 、 Q ，则 PMMQ AClPMQODBPMQlACODB【例 9】 （ IM042-1 ）ABC 为锐角三角形， 外心为o证明：CABCOP90 O，P 在BC上， AP是高，若BCAABC30o ，AOBPC【例 10】 ( 选讲 )在 ABC中， ABAC， A20 ，点 D 、E 分别在腰 AB 、 AC 上，且CBE 60 ，DCB 50 ，求DEB AED高中数学联赛课程暑期班第 1 讲学生版5BC1.3 旋转经典精讲【例 11】ABC 是一个正三角形，与BC 平行的一条直线分别交边AB 、 AC 于 D 和 E ， M 是线段 BE的中点， O 是ADE 的外心，求C
6、MO 的各角AODEMBC【例 12】设 E 、 F 分别为正方形 ABCD 的边 BC 、CD 上的点， AE 、 AF 分别与对角线BD交于 P、Q两点，且 BE DFEF ，求证：五边形PECFQ 内接于圆（第29 届 IMO 加拿大国家队培训）ADQFPBEC【例 13】在ABC 中， ABAC，P是ABC 的内部一点，求证：APBCPA的充足必需条件是PBPC APBC实战操练【操练 1】 在梯形 ABCD 中， AD BC ， E 、 F 是底边 BC 上两点，且 BEFC ， BAEFDC ，求证： AB CD ADBECF高中数学联赛课程暑期班第 1 讲学生版7【操练 2】 设线段 AB 与 CD 相等，且其交角为60 ，求证：【操练 3】 在ABC 中，C2 B ， D 是三角形内一点，且求证：BAC3BAD ACBD ABAD60CBDBDC ， ADAC，ADBC【操练 4】 在ABC 中， AC BC ， M 是它的外接圆上包括点?C 的弧 BA 的中点， AC 上的点 X 使得MXAC ，求证： AX XC CB AXMCB
