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1、基本初等函数的导数公式及导数的运算法则教案 1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（1）【教学目标】1掌握基本初等函数的导数公式及导数的运算法则2学会利用公式求一些函数的导数【教学重点】基本初等函数的导数公式及导数的运算法则【教学难点】基本初等函数的导数公式及导数的运算法则的应用【教学过程】一、复习引入： 1导数与导函数都称为导数，这要加以区分：求一个函数的导数，就是求导函数；求一个函数在给定点的导数，就是求导函数值它们之间的关系是函数在点处的导数就是导函数在点的函数值2 求函数的导数的一般方法：（1）求函数的改变量（2）求平均变化率（3）取极限，得导数 3几个用函数的导数（1）(
2、C为常数)（2）（3）（4）（5）二、讲解新课：1 为了方便，今后我们可以直接使用下面的基本初等函数的导数公式表（1）(C为常数)；（2）()；（3）；授课：XXX（4）；（5）；（6）；（7）；（8）2 导数运算法则法则1 法则2 , 法则3 三、讲解范例：例1 求y=x3+sinx的导数.解：y=(x3+sinx)=(x3)+(sinx)=3x2+cosx例2 求y=x4x2x+3的导数.解：y=(x4x2x+3)=(x4)(x2)x+3=4x32x1，例3求的导数解： 例4求的导数解： 例5 y=3x2+xcosx，求导数y.解：y=(3x2+xcosx)=(3x2)+(xcosx)=3
3、2x+xcosx+x(cosx)=6x+cosx+xsinx例6 y=5x10sinx2cosx9，求y.解：y=(5x10sinx2cosx9)=(5x10sinx)(2cosx)9=5(x10)sinx+5x10(sinx)2()cosx+2(cosx)0=510x9sinx+5x10cosx(cosx2sinx)=50x9sinx+5x10cosxcosx+2sinx=(50x9+2)sinx+(5x10)cosx四、课堂练习：授课：XXX1.求函数的导数.(1)y=2x3+3x25x+4解：(2x3+3x2-5x+4)=(2x3)+(3x2)-(5x)+4=23x2+32x-5=6x2
4、+6x-5(2)y=sinxx+1解：y=(sinxx+1)=(sinx)x+1=cosx1(3)y=(3x2+1)(2x)解：y=(3x2+1)(2x)=(3x2+1)(2x)+(3x2+1)(2x)=32x(2x)+(3x2+1)(1)=9x2+12x1(4)y=(1+x2)cosx解：y=(1+x2)cosx=(1+x2)cosx+(1+x2)(cosx)=2xcosx+(1+x2)(sinx)=2xcosx(1+x2)sinx2.填空：(1)(3x2+1)(4x23)=( )(4x23)+(3x2+1)( )解：(3x2+1)(4x23)=(3x2+1)(4x23)+(3x2+1)(4
5、x23)=32x(4x23)+(3x2+1)(42x)=(6x)(4x23)+(3x2+1)(8x)(2)(x3sinx)=( )x2sinx+x3( )解：(x3sinx)=(x3)sinx+x3(sinx)=(3)x2sinx+x2(cosx)3.判断下列求导是否正确，如果不正确，加以改正.(3+x2)(2x3)=2x(2x3)+3x2(3+x2)解：不正确.(3+x)2(2x3)=(3+x2)(2x3)(3x2)(2x3)=2x(2x3)+(3+x2)(3x2)=2x(2x3)3x2(3+x2)五、小结 ：由常函数、幂函数及正、余弦函数经加、减、乘运算得到的简单的函数均可利用求导法则与导
6、数公式求导，而不需要回到导数的定义去求此类简单函数的导数 六、课后作业：（略） 1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（2）【教学目标】1掌握基本初等函数的导数公式及导数的运算法则2理解掌握复合函数的求导法则；3学会利用公式求一些函数的导数【教学重点】基本初等函数的导数公式及导数的运算法则；复合函数的求导法则【教学难点】基本初等函数的导数公式及导数的运算法则的应用；复合函数的求导法则的应用【教学过程】一、复习引入： 1常见函数的导数公式：（1）(C为常数)；（2）()；（3）；（4）；授课：XXX（5）；（6）；（7）；（8）2导数的运算法则：法则1 法则2 , 法则3 二、讲解新
7、课：1复合函数：由几个函数复合而成的函数，叫复合函数由函数与复合而成的函数一般形式是，其中u称为中间变量2求函数的导数的两种方法与思路：方法一：；方法二：将函数看作是函数和函数复合函数，并分别求对应变量的导数如下：，两个导数相乘，得， 从而有 对于一般的复合函数，结论也成立，以后我们求yx时，就可以转化为求yu和ux的乘积，关键是找中间变量，随着中间变量的不同，难易程度不同3复合函数的导数：设函数u=(x)在点x处有导数ux=(x)，函数y=f(u)在点x的对应点u处有导数yu=f(u)，则复合函数y=f( (x)在点x处也有导数，且 或fx( (x)=f(u) (x)证明：（教师参考不需要给
8、学生讲）设x有增量x，则对应的u，y分别有增量u，y，因为u=(x)在点x可导，所以u= (x)在点x处连续因此当x0时，u0当u0时，由 且授课：XXX即 (当u0时，也成立)4复合函数的求导法则复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数5复合函数求导的基本步骤是：分解求导相乘回代三、讲解范例：例1试说明下列函数是怎样复合而成的？； ； 解：函数由函数和复合而成；函数由函数和复合而成；函数由函数和复合而成；函数由函数、和复合而成说明：讨论复合函数的构成时，“内层”、“外层”函数一般应是基本初等函数，如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等例2
9、写出由下列函数复合而成的函数：，；，解：； 例3求的导数解：设，则 注意：在利用复合函数的求导法则求导数后，要把中间变量换成自变量的函数有时复合函数可以由几个基本初等函数组成，所以在求复合函数的导数时，先要弄清复合函数是由哪些基本初等函数复合而成的，特别要注意将哪一部分看作一个整体，然后按照复合次序从外向内逐层求导例4求f(x)=sinx2的导数解：令y=f(x)=sinu; u=x2=(sinu)u(x2)x=cosu2x=cosx22x=2xcosx2f(x)=2xcosx2例5求y=sin2(2x+)的导数授课：XXX分析：设u=sin(2x+)时，求ux，但此时u仍是复合函数，所以可再
10、设v=2x+解：令y=u2，u=sin(2x+)，再令u=sinv，v=2x+=yu(uvvx)，yx=yuuvvx=(u2)u(sinv)v(2x+)x=2ucosv2=2sin(2x+)cos(2x+)2=4sin(2x+)cos(2x+)=2sin(4x+)，即yx=2sin(4x+)例6求的导数解：令y=，u=ax2+bx+c，=()u(ax2+bx+c)x=(2ax+b)=(ax2+bx+c)(2ax+b)=，即yx=例7求y=的导数解：令，=()u()x即yx=例8 求y=sin2的导数解：令y=u2，u=sin，再令u=sinv，v=vx=(u2)u(sinv)v()x授课：XX
11、X=2ucosv=2sincos=sinyx=sin例9 求函数y=(2x23)的导数分析: y可看成两个函数的乘积，2x23可求导，是复合函数，可以先算出对x的导数解：令y=uv，u=2x23，v=, 令v=，=1+x2 = (1+x2)x=yx=(uv)x=uxv+uvx=(2x23)x+(2x23)=4x，即yx=四、课堂练习：1求下列函数的导数(先设中间变量，再求导)(1)y=(5x3)4 (2)y=(2+3x)5 (3)y=(2x2)3 (4)y=(2x3+x)2解：(1)令y=u4，u=5x3=(u4)u(5x3)x=4u35=4(5x3)35=20(5x3)3(2)令y=u5，u
12、=2+3x=(u5)u(2+3x)x=5u43=5(2+3x)43=15(2+3x)4(3)令y=u3，u=2x2=(u3)u(2x2)x=3u2(2x)=3(2x2)2(2x)=6x(2x2)2(4)令y=u2，u=2x3+x=(u2)u(2x3+x)x=2u(23x2+1)=2(2x3+x)(6x2+1)=24x5+16x3+2x2求下列函数的导数(先设中间变量，再求导)(nN*)授课：XXX(1)y=sinnx (2)y=cosnx (3)y=tannx (4)y=cotnx解：(1)令y=sinu，u=nx=(sinu)u(nx)x=cosun=ncosnx(2)令y=cosu，u=n
13、x=(cosu)u(nx)x=sinun=nsinnx(3)令y=tanu，u=nx=(tanu)u(nx)x=()un=n=nsec2nx(4)令y=cotu，u=nx=(cotu)u(nx)x=()un=n=n=ncsc2nx五、小结 ：复合函数的求导，要注意分析复合函数的结构，引入中间变量，将复合函数分解成为较简单的函数，然后再用复合函数的求导法则求导；复合函数求导的基本步骤是：分解求导相乘回代 六、课后作业：你曾落过的泪，最终都会变成阳光，照亮脚下的路。 （舞低杨柳楼心月 歌尽桃花扇底风）我不去想悠悠别后的相逢是否在梦中，我只求此刻铭记那杨柳低舞月下重阁，你翩若惊鸿的身影，和那桃花扇底悄悄探出的半面妆容与盈盈水眸。用宁静的童心来看，这条路是这样的：它在两条竹篱笆之中。篱笆上开满了紫色的牵牛花，在每个花蕊上，都落了一只蓝蜻蜓。 你必得一个人和日月星辰对话，和江河湖海晤谈，和每一棵树握手，和每一株草耳鬓厮磨，你才会顿悟宇宙之大、生命之微、时间之贵我一直以来都弄不明白，为什么不管做了多么明智合理的选择，在结果出来之前，谁都无法知道它的对错。到头来我们被允许做的，只是坚信那个选择，尽量不留下后悔而
