《新编高考数学理科总复习【第八章】立体几何与空间向量 第九节》由会员分享，可在线阅读，更多相关《新编高考数学理科总复习【第八章】立体几何与空间向量 第九节（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、新编高考数学复习资料第九节空间向量的应用(二)1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直与平行关系2.能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理(包括三垂线定理)3.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的作用知识梳理一、利用向量证明平行1证线线平行(面面平行)方法：ab(b0) ab.2证线面平行方法：(法一)利用共面向量定理，如果两个向量a，b不共线，则向量c与向量a，b共面的充要条件是存在实数对x，y，使cxayb.(法二)证平面的法向量与该直线垂直二、利用向量证明垂直1证线线垂直方法：ab0ab.2证
2、线面垂直方法：转化为证线线垂直三、利用向量求距离1求点到平面的距离：已知AB为平面的一条斜线段，C为点A在平面的射影，n为平面的法向量，则A到平面的距离d.2求直线到平面的距离：转化为点到平面的距离去求3求两平面间的距离：转化为点到平面的距离去求4.两条异面直线距离：分别在直线a，b上取定向量a，b，求与向量a，b都垂直的向量n，分别在a，b上各取一个定点A，B，则异面直线a，b间的距离d等于在n上的射影长，即d.基础自测1已知直线a的方向向量为a，平面的法向量为n，下列结论成立的是()A若an，则aB若an0，则a来源:C若an，则aD若an0，则a解析：由方向向量和平面法向量的定义可知应选
3、C.对于选项D，直线a平面也满足an0.答案：C2向量a(2，3,1)，b(2,0,4)，c(4，6,2)，下列结论正确的是()Aab，bc Bab，acCac，ab D以上都不对解析：因为c2a，ab0，所以ac，ab，故选C.答案：C3在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，M是AA1的中点，则点A1到平面MBD的距离是_答案：a4已知矩形ABCD中，AB1，BCa(a0)，PA平面AC，且PA1，若在BC边上存在一点Q，使得PQQD，则a的取值范围是_.答案：4.2，)来源:1(2012大纲全国卷)已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AB2，CC12，E为CC1的中点，则直线A
4、C1与平面BED的距离为 ()A2 B. C. D1解析：由已知可得AC14，取AC与BD的中点O，连接OE，显然有AC1OE且平面ACC1A1平面BED，AC1与平面BED的距离即为AC1与OE的距离，又AB2，CC12，AC2，CC1AC，平面AA1C1C为正方形，AC1与平面BED的距离为CA11.故选D.答案：D2(2013北京卷)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，四边形AA1C1C是边长为4的正方形，平面ABC平面AA1C1C，AB3，BC5.(1)求证：AA1平面ABC；(2)求二面角A1BC1B1的余弦值；(3)证明：在线段BC1上存在点D，使得ADA1B，并求的值(1)证明：
5、因为AA1C1C为正方形，所以AA1AC，因为平面ABC平面AA1C1C，且AA1垂直于这两个平面的交线AC，所以AA1平面ABC.(2)解析：由(1)知AA1AC，AA1AB.由题知AB3，BC5，AC4.所以ABAC.如图，以A为原点建立空间直角坐标系Axyz，则B(0,3,0)，A1(0,0,4)，B1(0,3,4)，C1(4,0,4)，(0,3，4)，(4,0,0)设平面A1BC1的法向量为n(x，y，z)，则即得x0，令z3，则y4，所以n(0,4,3)同理可得，平面BB1C1的法向量为m(3,4,0)，所以cosn，m.由题知二面角A1BC1B1为锐角，所以二面角A1BC1B1的余
6、弦值为.(3)证明：设D(x1，y1，z1)是直线BC1上一点，且.则由(1)可得(x1，y13，z1)(4，3,4)解得x14，y133，z14.所以(4，33，4)由0，即9250.解得.来源:因为0,1，所以在线段BC1上存在点D，使得ADA1B.此时.1在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，M为AB的中点，则点C到平面A1DM的距离为() A.aB.a C.a D.a答案：A2(2013梅州二模)如图，侧棱垂直底面的三棱柱ABCA1B1C1中，ABAC，AA1ABAC3，ABACt(t0)(1)当AA1ABAC时，求证：A1C平面ABC1；(2)若二面角ABC1C的平面角的余弦
7、值为，试求实数t的值(1)证明：因为AA1面ABC，所以AA1AC，AA1AB.又因为ABAC，所以分别以AB，AC，AA1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系则A(0,0,0)，C1(0,1,1)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，A1(0,0,1)，所以(0,1，1)，(0,1,1)，(1,0,0)，所以0，0，所以，.又因为AC1ABA，所以A1C平面ABC1.(2)解析：分别以AB，AC，AA1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系则A(0,0,0)，C1(0，t,32t)，B(t,0,0)，C(0，t,0)，A1(0,0,32t)，所以(0，t,2t3)，(0，t,32t)，(t,0,0)，(0,0,32t)，(t，t,0)来源:设平面ABC1的法向量m(x，y，z)，则即来源:数理化网令zt，则m(0,2t3，t)同理可求平面BCC1的法向量n(1,1,0)设二面角ABC1C的平面角为，则有|cos |.化简得5t216t120，解得t2(舍去)或t.所以当t时，二面角ABC1C的平面角的余弦值为.
